Prenons le cas le plus simple où il n’y a qu’une file d’attente et un service. Les clients arrivent au hasard dans la file d’attente et passe dans le service selon un temps aléatoire.

    On peut prendre l’exemple d’une ville possédant une station essence : les personnes viennent aléatoirement et sont servis plus ou moins longuement selon leur besoin.

    Nous allons caractériser l’arrivée aléatoire des clients et voir qu’elle correspond à une loi mathématique usuelle. En effet, l’expérience montre que les clients arrivent généralement suivant une loi de poisson. Il s’agit d’une approximation usuelle qui a pour but de simplifier les calculs relatifs au file d’attente, mais aussi d’expliquer simplement leur fonctionnement.

    Voyons maintenant comment il est possible de prouver simplement l’utilisation de la loi de poisson pour les arrivées aléatoires des clients :

     Démonstration :

    Considérons tout d’abord que le phénomène d’arrivées de clients dans une file d’attente est stationnaire. Cela signifie que l’observation que l’on fait de la file d’attente est indépendant de l’origine du temps. On ne tiendra donc par exemple pas compte des pics ou creux d’arrivées des clients à certains moments de la journée.

    Considérons également que les arrivées de chaque client sont indépendantes les unes des autres. Le cas d’arrivées à intervalles réguliers déterminé ou par groupe de clients est donc exclu.

    Enfin, la probabilité d’arrivée d’un événement pendant un intervalle de temps Dt est proportionnelle à Dt et égale à l.Dt (de plus, la probabilité qu’il arrive deux événements pendant D t est du second ordre par rapport à la première).

    On suppose qu’il y ait n événements enregistrés à la date t + Dt. Ces n événements ne peuvent provenir que des deux situations suivantes :

    Donc la probabilité p_n(t + Dt) de réalisation de n événements pendant le temps t + Dt est :

p_n(t + Dt) = p_n-1(t).l.Dt + p_n(t)[1- l.Dt]

    Cette formule est vraie pour tout n sauf n=0. En effet, dans ce cas, aucun événement n’a été réalisé au temps t + Dt et aucun événement n’avait également été réalisé au temps t. On obtient alors : p₀(t + D t) = p₀(t) [1- l .Dt]

    Cette dernière formule s’écrit également :

[p₀(t + Dt)- p₀(t)]/ Dt= - l.p₀(t)

    C’est-à-dire (quand Dt®  0) : p’₀(t) = - l.p₀(t) car, par définition :

f’(t) = limD _t®0 [f(t + Dt)-f(t)] / Dt

    Cette dernière formule provient du cas n = 0. Du cas n quelconque, on déduit la formule suivante :

p’_n(t) = l.p_n-1(t) - lp_n(t)

    L’équation différentielle p’₀(t) = - l.p₀(t) s’écrit sous la forme dp₀/dt = -l.p₀, i.e.

dp₀/dt = -l.dt

    La solution de cette équation est p₀(t)=e^{-l t}

    Dans le cas où n > 0, on a tout d’abord pour la première équation :

p’₁(t) = l .p₀(t) - l p₁(t) ou bien : p’₁(t) + l p₁(t) = l . e^{-l t}

    Cette équation avec second membre donne :

p₁(t)=( lt).e^-lt/1 !

    On montrerait facilement par récurence que :

p_n(t)=(l t)ⁿ.e^-lt/n !

    Cette dernière probabilité est la loi de Poisson de paramètre l.

    L’applet Java ci-dessous simule une loi de Poisson.

Description :

    La loi de Poisson est discrète, c’est-à-dire qu’elle prend ses valeurs pour des entiers. La graphique est donc en escalier. En bleu est tracé le graphe représentant P(X>=n) : c’est la somme des P(X=n) pour tous les X <= n. On remarque que cette somme vaut 1 quand n tend vers l’infini. En effet, la somme de toutes les probabilités d’une loi vaut 1 (ce qui revient à dire que tous les événements possibles d’une variable aléatoire suivant une certaine loi sont considérés).

Fonctionnement :

    Il est possible de rentrer la valeur du paramètre l puis de tracer la courbe en appuyant sur le bouton calculer.

Applet :

        La loi des services est la loi qui permet d'estimer le temps qu'occupe un service (souvent un guichet) pour traiter chaque client.

        Si on considère les intervalles de temps qui s'écoulent entre les événements successifs d'une loi de Poisson de taux m , on constate qu'ils suivent une loi de la forme :

                        p(q) = m.exp(-m.q)

                 (où les q sont les intervalles de temps qui séparent 2 événements consécutifs).

        Cette loi est dite loi exponentielle. De manière générale, elle s'adapte bien à la durée d'un service. Dans cette loi, m est le nombre de clients servis par unité de temps et 1/m le temps moyen que passe chaque client à la station.

    L’applet Java ci-dessous trace la courbe représentative d'une loi exponentielle pour un paramètre et affiche .

Description :

    La loi exponentielle est continue. Cette applet est donc destinée à tracer la fonction densité : p(q) = m.exp(-m.q).  Elle fournit également le résultat de la probabilité P(a<X<=b) où a et b sont des données rentrées par l'utilisateur.

Fonctionnement :

    Il est possible de rentrer la valeur du paramètre m puis de tracer la courbe correspondante en appuyant sur le bouton calculer.

Applet :

    Dans cette partie, nous allons considérer le cas d'une unique file où les clients arrivent selon une loi de Poisson et sont servis à la station dans un temps suivant une loi exponentielle. Cette partie a pour but de mettre en évidence les principaux résultats qui interviennent dans les simulations ou les prévisions relatives aux files d'attente.

Remarque : Cette probabilité ne dépend pas du temps car le phénomène est stationnaire.

Démonstration :

    Si n personnes sont dans le système d'attente à t + Dt, cela ne peut provenir que de 4 situations :

    D'après les hypothèses, la probabilité qu'une personne entre pendant Dt est l.Dt alors que m.D t est la probabilité qu'une personne sorte. Les probabilités complémentaires sont :

                (1-l.dt) et (1-m.dt).

    On obtient donc la probabilité qu'il y ait n clients au temps t + D t:

                p_n(t+D t) =   p_n-1(t)[ l. D t.(1- m. D t)] +

                                    p_n(t)[(1-l. D t).(1-m. D t)] +

                                    p_n(t)l. D t.m. D t +

                                    p_n+1(t)[(1-l. D t).m. D t]

    Si l'on néglige tous les termes en D t²:

            p_n(t+D t) =   p_n-1(t).l. D t + p_n(t)(1-(l+m). D t) + p_n+1(t).m. D t

    C'est-à-dire :

            [p_n(t+D t) - p_n(t)] / D t = p_n-1(t).l - p_n(t)(l+m) + p_n+1(t).m (1)

    En faisant tendre dt vers 0 :

            p'_n = l .pn-1 - (l+m).pn + m.p_n+1

Remarque :

    L'équation (1) possède un cas particulier en n = 0, c'est-à-dire qu'il y ait 0 clients à l'instant t + D t. En effet, il ne peut alors pas y avoir une personne qui entre sans que personne ne sorte pendant le temps Dt. On a alors :

            p₀(t+D t) = p₀(t)[(1-l. D t)] + p₁(t)[(1-l. D t).m. D t]

qu'on peut aussi écrire sous la forme :

            [p₀(t+D t) - p₀(t)]/ D t = -l.p₀(t) + m .p₁(t)

et en faisant tendre D t vers 0 : p'₀ = -l.p₀ + m .p₁

    D'après les hypothèses, le phénomène est stationnaire. donc :

            p'₀ = p'₁ = p'₂ = ... = p'_n = ... = 0

    Alors, l'équation : p'₀ = -l.p₀ + m .p₁ devient : 0 = -l.p₀ + m.p₁, i.e. : p₁ = (l/ m).p₀

    Si l'on remplace cette valeur de p1 dans l'équation (1), on obtient :

            l .p₀ - (l+m).p₁ + m.p₂ = l .p₀ - (l+m).(l/ m).p₀ + m.p₂

    C'est-à-dire : p₂ = (l/m)².p₀

et par récurrence : p_n = (l/m)ⁿ.p₀ (2)

    On sait de plus que : S(p_i) = p₀ + p₁ + p₂ + ... + p_n + ... =1

            p₀ + (l/ m).p₀ + (l/m)².p₀ + ... + (l/m)ⁿ.p₀ + ... =1

            p₀.[1 + (l/ m) + (l/ m)² + ... + (l/ m)ⁿ + ...]=1

    En utilisant la somme d'une suite géométrique :

            p₀. 1 / (1 - l/ m)=1

            i.e : p₀ = 1 - l/ m

    On remplace cette dernière expression dans (2) :

            p_n = (l/m)ⁿ.( 1 - l/ m) C.Q.F.D

Remarque : on dit que l'on a engorgement si : l/ m >1.

Démonstration :

    Le nombre moyen h de clients dans la file d'attente est en fait l'espérance de la loi de probabilité :

            p_n = (l/m)ⁿ.( 1 - l/ m)

donc : h = S(n. p_n) = 0.p₀ + 1.p₁ + 2.p₂ + ... + n.p_n + ...

                h = 1.(l/ m).p₀ + 2.(l/m)².p₀ + ... + n.(l/m)ⁿ.p₀ + ...

                h = p₀.[ (l/ m) + 2.(l/ m)² + ... + n.(l/ m) n + ...]

                h = (1 - l/ m).(l/ m)[ 1 + 2.(l/ m) + ... + n.(l/ m) n-1 + ...]

                h = (1 - l/ m).(l/ m).S'

avec S' = 1 + 2.(l/ m) + ... + n.(l/ m)^n-1 + ...

    La somme notée S' est la dérivée par rapport à l/m de la somme S :

            S = (l/ m) + (l/ m)² + ... + (l/ m)ⁿ + ...

            i.e. : S = (l/ m). 1 / (1 - l/ m)

    Si l'on dérive cette dernière expression S par rapport à l/m, on obtient :

            S' = [(1 - l/ m) + (l/ m)] / (1 - l/ m)²

            S' = 1 / (1 - l/ m)²

    Alors : h = (1 - l/ m).(l/ m). 1 / (1 - l/ m)²

            h = (l/ m) / (1 - l/ m)

            h = l / (m - l) C.Q.F.D.

Démonstration :

    Une file de h clients s'écoulera en un temps h x 1/ m, où 1/ m est le temps moyen que passe chaque client dans la file.

    On obtient directement le résultat :

            T = h / m = l/ [m.( m - l)]

        Un tel procéssus est une généralisation du phénomène de file d'attente dans le cas où l et m dépendent du nombre n de clients. Les arrivées (ou naissances) restent poissoniennes er les services (ou morts) exponentiels.

On a montré pour une unique file d'attente que :

dp_n(t)/dt = l_n-1.p_n-1(t) - (l_n+m_n).p_n + m_n+1.p_n+1(t)

dp₀(t)/dt = -l₀.p₀(t) + m₁ .p₁(t)

    S'il existe S stations, le service est proportionnel au nombre de clients tant que n est plus petit que S ; il est égal à S.m pour n = S. Ainsi :

l_n = l ; m_n = n.m (si S = n > 0) ; m_n = S.m (si n = S)

    D'où :

dp₀(t)/dt = -l.p₀(t) + m .p₁(t)

dp_n(t)/dt = l.p_n-1(t) - (l+n.m).p_n + (n+1).m.p_n+1(t) (si S > n > 0)

dp_n(t)/dt = l.p_n-1(t) - (l+S.m).p_n + S.m.p_n+1(t) (si n = S)

    Dans le cas où l'on étudie le régime stationnaire, les dérivées étant nulles, les équations différentielles ci-dessus se réduisent à de simples équations de récurrence entre les p_n(t) ; on pourrait ainsi calculer les valeurs de p₀, p_n et T (temps moyen d'attente) de la même manière que dans le cas à une file d'attente.

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