, il ne reste plus qu’à itérer le
processus.Quelques algorithmes d’extractions de racines carrés.
Quelle drôle d’idée que de calculer des racines à la main, alors que le XXIième siècle est proche !
Plusieurs raisons à cela :
Le point Historique :
Des tablettes datées de l’ancien âge babylonien (2000 avant J.C.) présentent des approximations de racines carrées. Il s’agit entre autre de déterminer la diagonale d’un rectangle dont on connaît les dimensions. On ne sait pas vraiment quelles méthodes étaient utilisées à l'époque. mais au premier siècle, l'algorithme de Héron est déjà appliqué, et c'est l'algorithme le plus performant de cette page !
Dans toutes les méthodes qui suivent, on considérera un réel positif A dont on désire extraire la racine carrée.
1. La méthode de Héron d’Alexandrie.
2. La méthode de la " potence "
3. Méthode de Newton - ou méthode de la tangente.
4. Un algorithme fabuleux au " compte goutte ". (donnant les décimales unes à unes)
1. La méthode de Héron d’Alexandrie. (premier siècle de notre ère)
Description
Cette méthode repose sur la connaissance d’une première valeur approchée de la racine de A notée a.
Il s’agit ensuite de calculer la moyenne arithmétique entre a et A/a (puisque ce sont deux valeurs approchées du nombre cherché).
On obtient alors : , il ne reste plus qu’à itérer le
processus.
En notations " lycéennes " :
On construit la suite définie par son premier terme, et la
relation de récurrence : 
.
Cette méthode est très simple, puisqu’il s’agit à chaque étape, d’évaluer la moyenne arithmétique de deux approximations de la racine carrée de A.
En effet si 
est une valeur approchée par excès, alors 
est une
valeur approchée par défaut (et réciproquement).
étant
la moyenne arithmétique de ces deux valeurs approchées.
Exemple :
Soit A=431.
Une valeur approchée peut être 20.
On a alors la suite 
.
Ce qui donne 
puis 
Au deuxième rang, on possède déjà 4 décimales
exactes !. (on a 
)
(La convergence est quadratique : A chaque itération, le nombre de décimales exactes est multiplié par deux)
2. La méthode de la " potence "
Cette méthode fut enseignée jusque dans les années 60, elle
repose essentiellement sur le développement du binôme : 
.
Je vous la présente sur un exemple :
Supposons que l’on souhaite approchée la racine carrée de 56897.
On pose le calcul sous la forme d’une potence, comme une division. A la place du diviseur, on écrit 5 68 97 ainsi découpé en tranche de deux chiffres depuis la droite.
5 étant compris entre le carré de 2 (4) et le carré de 3 (9), le premier chiffre de la racine est donc un 2, on écrit :
(on retranche 4 de 5, il reste 1 et on abaisse la tranche suivante).
Ensuite, on utilise notre identité remarquable préférée,
puisque si x est le chiffre suivant de la racine, on doit avoir 
soit 
.
Et le plus grand entier x répondant à la question est x=3.... et l’on continue ainsi, comme sur la potence suivante :
3. Méthode de Newton - ou méthode de la tangente.
La méthode de Newton est plus générale que la simple extraction de racines carrées, elle permet d’approcher facilement (et rapidement) le zéro (s'il existe) d’une fonction (dérivable) si l’on en connaît une valeur approchée raisonnable.
Si a est une valeur approchée du zéro d’une fonction f, on considère la tangente à Cf en x=a qui coupe l’axe des abscisses en un point dont l’abscisse est réinvestit dans le calcul d’une nouvelle tangente à la courbe qui coupe elle aussi l’axe.... Ce qui donne la suite :
,
avec comme premier terme une valeur approchée correcte du zéro.
Pour le problème qui nous intéresse (l’extraction de la
racine carrée de A), on considère la fonction 
qui
s’annule entre autre au point cherché...
On obtient alors 
.
Et MERVEILLE nous retrouvons ébahis devant tant de splendeur : l’algorithme de Héron d’Alexandrie déjà exposé !
La convergence de cet algorithme est quadratique, à chaque calcul, le nombre de décimales exactes est doublé !...
4. Un algorithme fabuleux au " compte goutte ".
Cette méthode SIMPLISSIME est d’une beauté fulgurante ! j’en suis fou.
Mais la convergence est décevante puisque chaque itération ne donne qu’un seul chiffre.
Cependant il suffit de connaître les nombres impairs pour la mettre en œuvre.
Sur un exemple (qui en dit long).
Soit à trouver la racine de A=2137.
On écrit ce nombre par tranche de deux (en partant de la virgule) 21 37 , 00 00
Du premier groupe, on ôte les premiers nombres impairs :
21-1-3-5-7=5.
Nous avons effectués quatre soustractions, le premier chiffre est donc un 4.
On recommence avec 537 (le reste des premières soustractions suivit du deuxième groupe)
Cette fois, on soustrait à 537 les impairs à partir de 81 (obtenu en ajoutant 1 au dernier impair utilisé multiplié par 10 et augmenté d’une unité - " on ‘colle’ un 1 à 8 ")
537-81-83-85-87-89-91=21
La racine approchée est donc 46 (puisqu’il y a 6 soustractions)
On peut continuer :
2100-921-923=256
La valeur approchée devient 46,2
On continue ?
25600-9241-9243=6816
Une valeur approchée est donc 46,22
Remarque : Au sujet de la méthode " compte goutte " on m’a donné une référence le " Pour la science " n°215 pp104-107. N’hésitez pas à m’en envoyer d’autres.
Envoyez-moi vos méthodes si elles ne sont pas présentées sur cette page.