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Proximités et topologies. Journées non standard de Clermont 16-17 Décembre 1994. An.Sci. Blaise Pascal (1997).
(Commentaire )
Théorie relative des ensembles internes. Osaka Journal of Math. Vol 29 n°3 (1992)
Formules Absolues dans la théorie relative des ensembles internes. Rivista di matematica pura ed applicata n°19 (1998)
(Résumé)
Infinitesimal approach of almost-automorphic functions. Annals of Pure and Applied Logic 63 (1993) 283-297
(Résumé)
Some extensions of the principles of idealization transfer and choice in the relative internal set theory. Archive for Mathematical Logic n° 34 (1995)
(Résumé)
Introduction à l'analyse non standard relative. Proceeding of the 5th International Workshop in Analysis and Applications. (Univ. of Missouri-Rolla) 1995
(Résumé) Contient un article sur l'
(Résumé)
Un modèle du calcul de Dirac dans la Théorie Relative Des Ensembles. CRAS. Paris, t.326,Série I p. 543-548, 1998 .
Cet exposé, reprend et développe des idées qui ont été énoncées dans ....... A partir d'une nouvelle réflexion sur ce que pourrait être une théorie formelle du lieu ( au sens étymologique : une topologie ), nous replaçons des formulations anciennes ou récentes de topologie dans une nouvelle problématique, celle de l'analyse des proximités infinitésimales. Ce changement de cadre nous permet d' associer aux définitions habituelles des concepts plus élémentaires, en un sens qui sera précisé, d' énoncer des généralisations très naturelles, standard ou pas, de théorèmes connus. Nous aborderons des problèmes classiques concernant la nature topologique ou non de certaines convergences. Ainsi nous démontrerons que la convergence forte étudiée par I.Kupka dans $\Kupka$ est topologique et uniforme sous des hypothèses assez générales. Ce résultat, caché dans le livre $\Tukey$ de Tukey et l'article $\Dieudonné$ de Dieudonné semble être passé inaperçu, ou avoir été oublié à en juger par des articles récents.
Nous obtiendrons aussi des résultats qui s' émancipent complètement de la problématique classique.Comme tout texte mathématique, ce rapport de séminaire est une suite d'énoncés écrits dans une langue formelle, entrecoupés de quelques phrases de liaisons ou de commentaires en langue vernaculaire. Comme pour la plupart des mathématiciens, il nous est agréable parfois de penser que ces énoncés décrivent les propriétés d' entités formelles, prises comme objets (le plus souvent des ensembles), cela aide à la représentation mentale. Le choix d' un vocabulaire emprunté au monde concret ajoute encore à notre confort. Comme tout le monde nous utiliserons donc des termes du langage usuel tels que : espace, point, proximité voisinage etc .....
en essayant d'échapper le plus possible à la contamination qui pourrait provenir des significations d'origine.
Pourtant, les idées que j'exposerai ici se démarquent en plusieurs points des recherches
qui les ont précédées, portant sur le même sujet. Le premier est que dans notre réflexion sur la
topologie, nous mettons l'accent sur le discours topologique, plus que sur les structures
ensemblistes. Nous tenterons, par nos énoncés et nos démonstrations, de refléter dans la
mesure du possible les formulations et raisonnements en langue naturelle. Ces énoncés seront
le plus souvent du premier ordre ( on quantifie quand c'est possible sur les éléments des
espaces, plutôt que sur les parties ou les parties des parties de ceux-ci.... ), nos définitions de
base sont toujours des formules du premier ordre. C'est en ce sens que notre approche est
élémentaire. Voici un exemple, courant dans sa forme, de raisonnement topologique en langue
naturelle.
" Si, (selon certains critères) nous estimons que Clermont-Ferrand est proche de Bratislava, sachant que Chamalières est très proche de Clermont-Ferrand, alors on peut affirmer que Chamalières est proche de Bratislava."
Cet énoncé est du premier ordre : Si on rassemble les lieux géographiques en un ensemble L on peut l'écrire, sous une forme incomplètement formalisée :
Pour tous x, y, z dans L, ( (z très-proche-de y) & (y proche-de x) ) => z proche-de x .
Nous remarquerons qu'il n'est pas très fréquent de rencontrer un exemple "dans la vie quotidienne" de raisonnement topologique qui aille au-delà du premier ordre. Dans le domaine des mathématiques en revanche, les raisonnements de topologie faisant intervenir des quantifications à la fois sur les éléments d'un ensemble, sur les parties et sur les parties des parties de cet ensemble ( par exemple sur les ultrafiltres ) sont monnaie courante. On peut être tenté de s'enorgueillir de cette aptitude à manipuler des entités complexes. On pourra alors se sentir frustré d'apprendre que l' énoncé du premier ordre précédent, construit à partir des deux prédicats binaires de proximité, " .proche-de . ", " . très-proche-de . " peut être pris comme paradigme du raison-nement topologique. ( voir [B] définition 1 )
Nous admettrons que la bonne notion de proximité topologique pour l'analyse mathématique est celle de proximité infinitésimale, ... en attendant de le démontrer par l'usage!
Dans cet exposé les prédicats d'infinitésimalité seront des relations à trois places, x, a et y
de la forme 
, pouvant se lire x est proche de y avec un degré de proximité . On
pourrait définir ces relations dans la théorie classique des ensembles, en construisant
des extensions non standard successives d' une structure ensembliste bâtie sur l'ensemble X, ou
ne pas les définir du tout, les considérer comme des éléments primitifs du langage au même titre
que le prédicat d'appartenance. Nous avons choisi une solution intermédiaire en définissant les
relations d'infinitésimalité dans une extension conservative ( ce qui nous garantit contre
l'introduction de contradictions ) de la théorie habituelle des ensembles, dont le langage utilise,
à coté du prédicat d'appartenance , un second prédicat binaire, le prédicat de standardité
relative ( que l'on peut voir comme un prédicat d'idéalité relative).
Ces relations d'infinitésimalités et les structures qu'elles définissent sur leur domaine, seront classées en fonction des manipulations autorisées. Cette manière de classer les structures proximales, en disant ce qu'il est "mécaniquement" permis de faire est une autre spécificité de cette approche. Nous pensons qu'elle pourrait trouver des applications dans le domaine industriel, si la jonction avec ce type de problème se réalisait. Nous pensons en particulier à la modélisation de systèmes experts pour le raisonnement qualitatif dans le diagnostic de pannes. Un premier essai, utilisant comme langage de modélisation celui de la théorie IST de Nelson, ($\Nelson$) a déjà été réalisé récemment par P.Dague dans $\Dague$.
En fait, la simplification importante des énoncés et preuves amenée par notre théorie de
structures proximales, diminue la distance avec le raisonnement automatique. La chute de complexité dans nos énoncés s'explique par le fait que nous utilisons un langage plus riche que celui auquel se contraignent les mathématiques non relatives. L'introduction du nouveau
prédicat, en faisant entrer dans le langage formel des énoncés qui, en son absence, relevaient du discours heuristique, rapprochent un peu la langue formelle d'une langue de communication. Nous avons tenté d' allier l'expressivité des langues naturelles à l'absence d'ambiguïté qui justifie l'utilisation d'un langage formel.
Le terme "proximité" a déjà été utilisé ailleurs, par exemple dans $\Efremovic$ et dans $\Smirnov$ mais il s'agit de tout autre chose. Nous signalons qu'il existe dans $\Sari$ une approche non standard de la topologie générale antérieure à celle-ci . Elle se développe dans le cadre de la théorie IST de Nelson, il n'y a pas de niveau de standardicité et donc : pas de niveau de proximité. Cela oblige à imposer que les formules définissant les proximités infinitésimales ont une structure particulière : elles sont monadiques. Le résultat atteint est une présentation intermédiaire entre la topologie classique qui ne connaît que les ensembles, et la notre qui met très fortement l'accent sur la syntaxe. Le travail de Sari m'a fait gagner beaucoup de temps dans la recherche d'exemples de proximités.
Dans cet article, je pose les bases d'une théorie des ensembles, la TRE, dont le langage est construit sur deux prédicats. Le prédicat d'appartenance et le prédicat de standardité ( ou de standardicité ) relative. La TRE est une extension de la théorie IST de Nelson. Le passage de IST à la TRE était motivé au moment de l'élaboration de ce travail par le besoin d'étendre le champ d'application des mathématiques non standard . Les caractérisations externes, utilisant le langage des mathématiques non standard dans la théorie IST (Internal Set Theory) de E.Nelson n' opèrent plus quand interviennent des constantes non standard. Nous avons donc remplacé le prédicat de standardité absolu de IST (a une place), de façon à gommer la différence de nature entre "objets" standard et non standard. Dorénavant,
TOUT ENSEMBLE EST STANDARD ......RELATIVEMENT A LUI MÊME !
En fait, au fil des années de pratique de la TRE, sans que la théorie des ensembles elle même n'ait été matériellement modifiée, j'ai opéré un "virage epistémologique" . Il m'est apparu
1 - que l'intérêt de l'approche relative des mathématiques résidait plutôt dans la possibilité de faire entrer dans les mathématiques des formulations et des raisonnements qui étaient auparavant du domaine de la méta-mathématique ( sur le caractère plus ou moins idéal de certains "objets" par exemple ). Cela rapproche un peu le langage mathématique formel d'une langue vernaculaire naturelle.
2 - que l'amorce de ce virage figure dèja dans les mathématiques non standard classiques, plus
clairement dans l'approche de E. Nelson (Le Professeur Franco de Oliveira, m' a fait la même
remarque à Aveiro en Juillet 1994 au cours d'une conversation privée)
Afin de me protéger du soupçon d'incohérence, j'ai établi dans cet article que la TRE est une extension conservative de la théorie ZFC. La TRE possède donc le même "niveau de sécurité" que ZFC.
Pour une version abrégée en englais de l'article cliquez sur le lien
a un sens car nous savons dériver les fonctions de Dirac, effectuer le produit des dérivées et calculer l'intégrale du produit. Nous l'avons démontrée.
En fait il découle de notre étude et des développements qui ont suivi, qu' il faut reconsidérer la représentation du point physique par un point mathématique. La notion classique d'ensemble infini doit elle aussi être remplacée par une autre notion, tout aussi idéales et physiquement "irréelle" que la précédente mais qui présente l'avantage de ressembler aux ensembles finis. Les choses étant ainsi représentées; il nous est apparu que, bien que faisant appel à des notions non définies, les mathématiques développés à longueur de page dans les ouvrages et les articles de physique, dont nous soupçonnions qu'elles devaient être syntaxiquement non contradictoire sont généralement correctes. La notion d'indiscernabilité physique permet d'identifier les différentes expressions données par les physiciens pour la fonction de Dirac .
La question du produit des distributions qui occupe encore beaucoup de mathématiciens perd
complètement de sa pertinence . Elle est remplacée par une autre, qui a une véritable
signification physique, celle du lien qui doit exister entre le produit de l'observation de deux
fonctions présentant des sauts, et l'observation du produit des fonctions initiales .
| . . . . . . C'est un "survey" des articles précédents, qui présente en outre une piste dans la direction de l'automatisation des preuves. L' idée générale est qu'il faut allier la théorie de la démonstration naturelle de Gentzen, à la formulation naturelle ( relative, proche du discours en langue .... naturelle encore ) des énoncés. On y trouve un tableau de preuve pour une reformulation (plus générale!) du théorème d'Ascoli. Une implémentation dans la langage PROLOG devrait être possible ..... |
| Une voie vers l'automatisation des preuves ? |
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