1 Nombres complexes dans la résolution d'équations.

Les nombres complexes ont été difficilement acceptés par la communauté mathématique. Introduits peu après les nombres relatifs, eux-mêmes rejetés, ils ont permis de résoudre des types d'équations dont les recherches de solutions n'étaient même pas envisageables à l'époque.

Les grands noms associés aux nombres complexes sont ceux de BOMBELLI, CARDAN, ARGAN etc.

Aujourd'hui, les mathématiques ne pourraient pas se passer des complexes et l'analyse complexe constitue une branche importante des mathématiques.

1.1 Généralités.

1.1.1 Définitions.

1.1.1.1 Nombres complexes

On peut définir les nombres complexes de diverses façons suivant le niveau de l'étudiant mais aussi suivant ce que l'on recherche. La définition de l'ensemble des nombres complexes fait toujours appel aux opérations que l'on pratique dessus. En voici une parmi d'autres :

L'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres qui s'écrivent a + ib avec a et b appartenant à R et i² = -1, muni des opérations d'addition et de multiplication ayant les mêmes propriétés que celle de R.

Cette définition n'est pas très utile dans la pratique. Ce qui interpelle en premier lieu, c'est

i² = -1, ce qui déjà introduit une difficulté. Depuis la quatrième, on répète aux élèves que le carré d'un nombre est toujours positif .... Alors ?

Nous pouvons donner une autre définition qui ne ferait pas intervenir cette notion mais conserve le symbole i.

Deuxième définition :

On appelle ensemble des nombres complexes, l'ensemble des symboles z = a + ib où a et b sont des rééls et muni des opérations addition et multiplication telles que :

(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b') et

(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)

1.1.1.2 Le nombre complexe i.

Nous avons éliminé la difficulté de i² = -1, mais elle revient aussi vite, car, pour obtenir le produit tel qu'il est donné ci-dessus, il faut bien que i² = -1.

Ce qu'il y a à retenir c'est que nous avons un nouvel ensemble de nombres qui est composé de deux termes d'une somme : celui qui n'est pas multiplié par le symbole i et celui qui est multiplié par le symbole i, qu'il existe des opérations sur ces nombres, que ces opérations ont les propriétés des opérations sur R mais que i est un symbole spécial, quand on le multiplie par lui-même on a : i² = -1.

C'est donc ce nombre qui caractérise les nombres complexes. Dans le cas où b = 0 on a :

a + 0i = a. Ce qui nous fait dire que l'ensemble des nombres réels est inclu dans les nombres complexes ou que les nombres complexes sont une extension des nombres réels.

(ATTENTION ! Dans cette extension, nous perdons une des grandes propriétés de R : l'ordre !

On ne peut pas aligner les nombres complexes les uns derrière les autres sur une droite comme nous pouvons le faire avec les réels.)

Comme i² = -1, ce n'est pas un nombre réel. C'est un nombre imaginaire pur.

Puissances successives de i.

on sait que i² = -1

i³ = i².i = -i

i⁴ = i³.i = -i.i = -i² = 1

i⁵ = i⁴.i = i

et ainsi de suite.

1.1.1.3 Partie réelle, partie imaginaire.

Dans z = a + ib

a est appelé partie réelle de z qui est notée Re(z),

b est appelé partie imaginaire de z qui est notée Im(z).

Si Re(z) = 0 alors z est un imaginaire pur.

Si Im(z) = 0 alors z est un réel.

ATTENTION ! La partie imaginaire et la partie réelle sont des nombres réels. C'est la multiplication par i qui rend ib imaginaire !

1.1.1.4 Module d'un nombre complexe

Définition :

Le module d'un nombre complexe est le nombre réel positif ou nul tel que :

|z|² = a² + b²

Propriétés :

|z| = 0 ssi z = 0, le module est nul si et seulement si le nombre complexe est nul.

|z.z'| = |z|.|z'|. Le module d'un produit est égal au produit des modules.

|z + z'| < ou = |z| + |z'|. Comme le module est une distance, au même titre que la valeur absolue des réels dont il est l'équivalent pour les complexes, il "obéit" à l'inégalité triangulaire. C'est ce qu'indique cette propriété.

1.1.2 Opérations sur les nombres complexes

1.1.2.1 Addition.

La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe dont la partie réelle est la somme des parties réelles et la partie imaginaire est la somme des parties imaginaires.

z = a + ib et z' = a' + ib'

z + z' = (a + a') + i( b + b')

Rien de plus simple !

L'addition des nombres complexes, comme elle est déduite de l'addition des réels, possède toutes ses propriétés. Elle est commutative, associative.

1.1.2.2 Multiplication.

On multiplie les nombres complexes comme des réels en développant et en identifiant i² à -1.

Exemple : (2 - 3i)(1 + 2i)

2 + 4i - 3i - 6i²

2 + i + 6

8 + i

On peut aussi se servir de la formule (a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b) mais cela revient au même.

La multiplication est commutative et distributive sur l'addition. En particulier, la formule du binôme de Newton reste valable pour les nombres complexes et les identitées remarquables sont toujours vraies.

1.1.2.3 Inversion d'un nombre complexe.

Tous les nombres complexes ont un inverse sauf 0 + 0i qui est le nombre complexe nul (identifié au réel 0). L'inverse d'un complexe z est noté z^-1 ou 1/z.

La définition d'un inverse est z.z^-1 = 1

Soit z = a + ib et z^-1 = x + iy et recherchons la partie réelle x et la partie imaginaire y de z. D'après la formule de multiplication des nombres complexes on a :

(a + ib)(x + iy) = (ax - by) + i(xb + ay), en identifiant parties réelles et parties imaginaires du second membre et de 1, on obtient le système suivant :

ax - by = 1 qui est la partie réelle de 1

xb + ay = 0 qui est la partie imaginaire de 1

En résolvant par rapport à x et y (qu'on laisse faire à titre d'exo) on obtient :

x = a / (a² +b²) et y = -b / (a² + b²)

L'inverse d' un nombre z = a + ib est :

z^-1 = (a - ib) / (a² + b²).

On reconnaît au dénominateur le carré du module de z, on peut donc écrire :

z^-1 = (a - ib) / |z|².

Nous allons voir maintenant à quoi correspond la quantité a - ib.

1.1.3 Conjugaison complexe.

1.1.3.1 Définition du conjugué.

Il y a deux nombres dont le carré est -1 : i et -i, et ce n'est que de manière arbitraire que nous avons choisi i et non pas -i, il n'empèche que toutes les propriétés vraies pour i le sont pour -i, d'où l'importance du nombre complexe a - ib.

Ce nombre s'appelle conjugué de z et se note .

Si z = a + ib alors = a - ib.

La conjugaison complexe est très importante, car toutes les propriétés que z possède, les possède aussi.

1.1.3.2 Propriétés du conjugué.

Voyons si la conjugaison ne détruit pas la somme.

Soit z et z' deux nombres complexes, et et ' leurs conjugués, essayons d'exprimer le conjugué de la somme en fonction des conjugués.

z = a + ib et z' = a' + ib'

= a+ a' - i(b + b') = a - ib + a' - ib' = +'

= +'

Le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués.

Voyons voir si la conjugaison détruit le produit.

Toujours suivant les mêmes hypothèses on a :

'= (a - ib)(a' - ib')

' = aa' - iab' - ia'b - bb'

' = (aa' - bb') -i(ab' + a'b)

' =

Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués.

Une des caractéristiques des nombres réels, c'est qu'ils sont égaux à leur conjugué. On peut donc donner cette propriété :

z est réel si et seulement si = z

Exprimons la partie réelle de z en fonction de son conjugué.

soit z = a + ib

Ajoutons à z son conjugué :

a + ib + a - ib = 2a

d'où 2Re(z) = z + et Re(z) = 1/2(z + )

De la même manière (en soustrayant le conjugué) nous avons :

Im(z) = 1/2(z - )

Voyons quelle est la nature du produit d'un nombre complexe et de son conjugué.

(a + ib)(a - ib) =

z= a² + b² = |z|².

D'après ce qui précède, nous pouvons affirmer que les complexes z et z +sont toujours des réels.

1.1.3.3 Exemples de calculs, division des nombres complexes.

De tout ce qui a été dit ci-dessus, on peut donner les règles de calcul :

z^-1 = / |z|².

La technique de division consiste à rendre réel le dénominateur en multipliant par le conjugué.

Exemple :

Soit à diviser z = 2 + i par z' = 3 - 2i.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

1.2 Notations des nombres complexes.

1.2.1 Le plan complexe.

Pour des raison de typographie, les vecteurs seront notés en caractères gras.

Exemple i, OM désigneront les vecteurs i et OM.

1.2.1.1 Image d'un complexe, affixe d'un point.

Considérons le repère orthonormé (O, i, j). De part la définition des nombres complexe que nous avons donnée, on a une bijection de l'ensemble des nombres complexes sur les points du plan. En effet, nous pouvons repérer, sur l'axe des abscisses, la partie réelle et, sur l'axe des ordonnées, la partie imaginaire de chaque nombre complexe.

Nous pouvons donc faire correspondre à tout nombre complexe le vecteur :

W = Re(z).i + Im(z)j

Si z = a + ib, alors nous avons OM = ai + bj. Le point M est unique, on l'appelle image de z.

De la même manière et du fait de la bijection, à tout point M(a,b) du plan, on peut associer le nombre complexe z = a + ib. (Où a et b sont les coordonnées de M).

Si a et b sont les coordonnées de M dans un repère orthonormé, alors on peut lui associer le complexe z = a + ib, on l'appelle affixe de M.

1.2.1.2 Définition.

Dans un tel plan, on a OM² = a² + b², d'après le théorème de Pythagore, ce qui reste cohérent avec la notion de module. On peut donc identifier les points du plan, muni d'un tel repère, à l'ensemble des nombres complexes. C'est le plan complexe.

Le point A de la figure ci-dessous a pour coordonnées ( 1 ; 0) et le point B (0 ; i).

L'axe (OA) est l'axe des réels et l'axe (OB) celui des imaginaires purs. On dira axe des réels et axe des imaginaires.

1.2.1.3 Argument.

Nous avons vu que l'application qui, à chaque complexe, associait un point du plan complexe était une bijection.

A chaque point M du plan complexe, on peut associer le couple unique :

(OM ; (OA,OM)(2)), c'est à dire le couple distance du point à l'origine et l'angle orienté, modulo 2, formé entre l'axe des abscisses (rééls) et (OM).

Dans le plan complexe, soit M un point d'affixe z, l'angle (OA,OM)(2) est appelé argument de z. On le note : arg (z).

1.2.2 Notation trigonométrique.

L'application que nous venons de voir est aussi une bijection. Nous avons donc une seconde façon de noter un nombre complexe : c'est la notation trigonométrique.

1.2.2.1 Notation.

Soit z un nombre complexe, z = a + ib. Notons r le module de z et son argument. On a :

a = r.cos et b = r.sin d'où z = r.cos+ ir.sin

Et nous pouvons écrire : z = r(cos+ i.sin) qui est la notation trigonométrique de z.

1.2.2.2 Calculs sur les nombres complexes en notation trigonométrique.

L'addition n'a aucun intéret à être faite avec la notation trigonométrique, au contraire elle complique les choses. Par contre, la multiplication des nombres complexes écrits sous la forme trigonométrique possède certains avantages.

Soit z = r(cos+ i.sin) et z' = r'(cos'+ i.sin'), on a :

zz' = r(cos+ i.sin) r'(cos'+ i.sin')

rr'( cos. cos' + cos. i.sin' + i.sin cos' - sin sin')

rr'( cos. cos' - sin sin' + i.(cos sin' + cos'sin))

 D'après lesformules de trigonométrie  (sinus et cosinus d'une somme), nous avons :

zz' = rr'(cos (+') + i.sin (+')).

On en conclut que : pour multiplier deux nombres complexes, écrits sous la forme trigonométrique, il faut multiplier leurs modules et additionner leurs arguments.

Il en découle :

z^-1 = r^-1(cos -i.sin ) et on a :

|z^-1| = |z|^-1 et arg (z^-1) = -arg (z), z différent de 0.

L'inverse d'un nombre complexe a pour module l'inverse du module et pour argument, l'opposé de l'argument.

Notation trigonométrique d'une puissance entière d'un nombre complexe :

|zⁿ| = |z|ⁿ et arg(zⁿ) = n.arg (z), pour n appartenant à Z et z différent de 0.

C'est la formule de MOIVRE.

1.2.2.3 Passage de la notation algébrique à la notation trigonométrique.

Comment passer de la notation algébrique à la notation trigonométrique ?

a) On calcule le module du nombre,

b) on identifie les parties réelles et imaginaires des formes algébrique et trigonométrique.

c) on résout le système d'équations

Exemple :

Soit à donner la forme trigonométrique du nombre z = + i.

On calcule le mudule de z

|z|² = ()² + 1² = 4 d'où |z| = 2

On identifie les parties réelles et les parties imaginaires :

2.cos=

2.sin= 1

Soit

cos= /2

sin= 1/2

On résout le système soit : = /6. La forme trigonométrique de z est :

z = 2.(cos /6 + i.sin /6)

1.2.3 Notation exponentielle.

Nous avons vu dans le 1.2.2.2 que l'argument d'un nombre complexe se comportait comme un exposant (voir calculs sur les exposants). On conviendra de noter z = r(cos+ i.sin) ainsi

z = r.eⁱ. C'est la notation exponentielle.

Dans ce cas le conjugué de z s'écrit : r.e^-i. Cette notation a un gros avantage, elle permet de calculer rapidement les produits, de plus elle donne le module et l'argument du nombre.

1.2.3.1 Formules d'EULER. Linéarisation.

Voir chapitre sur la trigonométrie.

1.2.3.2 Ecriture de cos nx en fonction des puissances de cos x.

Mettons que l'on veuille écrire cos nx en fonction des puissances de cos x (la démarche est la même pour sin nx en fonction des puissances de sin x).

a) On développe (cos x + i.sin x)ⁿ,

b) on applique la formule de MOIVRE à cos nx + i.sin nx,

c) on identifie les parties réelles des deux formules et on conclut en bidouillant avec les formules de trigo.

Exemple :

Soit à exprimer cos 4x.

On développe (cos x + i.sin x)⁴ en utilisant la formule du binôme de NEWTON et en prenant soin de ne pas se tromper avec les puissances de i :

(cos x + i.sin x)⁴ = cos⁴ x + 4.i.cos³ x.sin x - 6.cos² x.sin² x - 4i.cos x.sin³ x + sin⁴ x

On regroupe partie réelle et partie imaginaire.

= cos⁴ x - 6.cos² x.sin² x + sin⁴ x + i( 4.cos³ x.sin x - 4.cos x.sin³ x)

D'après le formule de MOIVRE on a :

(cos x + i.sin x)⁴ = cos 4x + i.sin 4x.

On identifie les parties réelles (ce sont elles qui contiennent les cosinus tant recherchés ! )

cos 4x = cos⁴ x - 6.cos² x.sin² x + sin⁴ x

On se sert de sin² x = 1 - cos² x et on sait que sin⁴ x = (sin² x)². Tous calculs faits :

cos 4x = 8.cos⁴ x - 8.cos² x +1

1.3 Exemples d'utilisation des nombres complexes.

 1.3.1 Résolution d'équations du second degré.

Seul le cas où = b² - 4ac < 0 nous intéresse ici ( pour les autres cas voir "second degré")

Dans ce cas les racines sont deux complexes conjugués :

, bien entendu, si > 0 les racines sont réelles et on les calcule comme d'hab.

1.3.2 Résolution d'équations du 3ème degré.

Une équation du 3ème degré s'écrit :

ax³ + bx² + cx + d = 0 (1)

On peut toujours ( et nous allons le démontrer) écrire cette équation sous la forme :

u³ + pu + q = 0 (2)

Déjà nous pouvons éliminer le coefficient a en divisant les deux membres de l'équation (1) par a puisqu'il n'est pas nul (sinon ce serait une équation du second degré). On obtient :

x³ + mx² + nx + r = 0 (3). Nous vous laissons le soin de déterminer m, n et r.

Par translation, nous pouvons éliminer le terme en x². Pour ceci posons x = u + h, l'équation devient :

( u + h)³ + m( u + h)² + n( u + h) + r = 0 soit :

u³ + 3u²h + 3uh² + h³ + m(u² +2uh + h² )+ n(u + h) + r = 0

Pour quelle valeur de h les termes en u² disparaissent-ils ? Les termes en u² sont :

3u²h + mu² , on a donc 3h + m = 0 et h = -m/3. Il en résulte que si nous posons x = u - m/3 on obtient l'équation suivante :

u³ + pu + q = 0 (2)

Maintenant nous allons appliquer la méthode deCARDAN pour la résolution de l'équation (2).

Posons u = t + z (voir chapitre " Mais comment ont-ils trouvé ça ? "). L'équation (2) devient :

(t + z) ³ + p (t + z) + q = 0

t³ +3t²z + 3tz² + z³ + pt + pz + q = 0 (3)

Factorisons l'expression : 3t²z + 3tz² + pt + pz = (t + z)(3tz + p)

On a :

t³ + z³ + (t + z)(3tz + p) + q = 0 (4)

Pour que (4) se réalise, il faut résoudre le système ((5), (6)) :

(t + z)(3tz + p) = 0 soit 3tz + p = 0 ou tz = -p/3 (5)

t³ + z³ + q = 0 ou bien t³ + z³ = -q (6)

Si (t,z) est une solution, alors t + z est une solution de (2). Nous allons élever (5) au cube de manière à avoir la somme et le produit de deux nombres. On obtient :

t³z³ = -p³/27 (5')

t³ + z³ = -q (6')

Il s'agit de trouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit.

u + v = a

u.v = b

On sait que u et v sont les solutions de l'équation x² + bx - a = 0 ce qui nous donne pour notre problème :

w² + qw - p³/27 = 0

Soit w' et w'' les racines de cette équation, on a :

t³ = w'

z³ = w''

Il suffit maintenant d'extraire les racines cubiques et de remonter l'équation.

1.3.3 Résolution d'équations de type zⁿ = a.

Il y a deux cas : a est réel ou a est complexe. Dans un premier temps, nous allons étudier les racines n-ièmes d' un nombre réel et en particulier de 1. Puis nous étudierons le cas général où a est un nombre complexe.

Soit à résoudre l'équation zⁿ = 1. Nous pouvons écrire le module de z :

|zⁿ| = |z|ⁿ d'après les propriétés du module. On a aussi |z|ⁿ = |1| = 1 (Si deux nombres sont égaux, leurs modules sont égaux). Soit :

|z| = 1. Ca y est ! Nous avons le module. Il nous faut maintenant l'argument de z.

D'après la formule de MOIVRE, on sait que :

Arg(zⁿ) = n.Arg(z). Comme 1 est un nombre réel, son argument est 0 + 2.k.. D'où on déduit qu'il existe un entier k tel que k soit compris entre 0 et n - 1 tel que : arg(z) = 2.k./n.

En conclusion l'équation zⁿ = 1 admet n racines distinctes :

z_k = cos  2.k./n + i.sin 2.k./n avec k = 0, 1, 2, ..., n - 1.

Cas particulier où n = 3.

Trois solutions z₀ = 1, z₁= cos 2/3 + i.sin 2/3 = - + i.

z₁ est tellement courrant qu'on lui a attribué un symbole : j = - + i.

On a z₃ = -j.

Dans le plan complexe, les solutions sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon 1.

Pour a réel et différent de 1, le problème est le même, seul le module change il est égal à racine n-ième de a.

 1.3.4 Résolution d'équations du type acos x + bsin x = c.

Pour factoriser une expression de la forme acos x + bsin x

1°) On écrit le nombre complexe a + ib sous la forme trigonométrique r(cos + i.sin )

2°) On a : acos x + bsin x = r.cos (x - )

Résolution d'une équation du type acos x + bsin x = c (Exemple)

Attention ! Une équation de ce type n'a pas toujours une solution ! c doit être inférieur ou égal au module de a + ib !

 Soit à résoudre l'équation : /3.cos x + sin x = -2 /

 On met z = /3 + i sous la forme trigonométrique (voir "comment passer ...")

. |z|²= 1/3 + 1 = 4/3 soit |z| = 2/

On a ainsi : cos = 1/2 et sin = /2 d'où = /3.

L'équation est équivalente à : 2/.cos(x - /3) = -2 /

ou cos(x - /3) = -1

ou bien cos(x - /3) = cos

soit x - /3 = + 2k et x = 4./3 + 2k

ou x - /3 = -+ 2ket x = -2 /3 + 2k