Fonctions linéaires et affines.
Fonctions rationnelles
Fonctions hyperboliques
Etude d'une fonction
Fonctions linéaires et affines
Dans tout ce qui va suivre, le terme fonction est entendu au sens de fonction numérique.
"Etre fonction de" est souvent employé dans le langage courant. Le prix est fonction du poids, le passage dans la classe supérieure est fonction des notes obtenues, le salaire est fonction de la qualification etc...
Toutes ces expressions soulignent un lien entre deux choses, entre deux quantités.
Pour les mathématiciens une fonction indique aussi un lien. C'est justement ce lien que nous allons étudier. S'il y a lien, il y a des choses à lier ! Ces choses sont des nombres pour les fonctions numériques.
Donc à un nombre je vais associer un autre nombre d'une certaine manière.
C'est DESCARTES qui a eu le premier l'idée de lier deux nombres à un point de l'espace, cette découverte nous donne la possibilité de tracer la courbe représentative d'une fonction.
Nous allons prendre un exemple simple :
Supposons que je veuille transformer un nombre en lui ajoutant 3.
A 5 je fais correspondre le nombre 8, à (-3) le nombre 0, à 0 je fais correspondre 3 etc....
Je note ces phrases par 5 |->8 ; (-3) |->0 ; 0 |->3. Mais il m'est impossible de décrire ma fonction (la manière de transformer les nombres) en écrivant tous les nombres de départ et tous les nombres d'arrivée. Il faut donc que je donne une formule générale qui puisse décrire la manière de transformer les nombres sans traiter chaque cas particulier.
C'est ici qu'intervient la notion de variable. Comme son nom l'indique, une variable est un nombre qui varie, c'est à dire qu'il peut prendre toutes les valeurs de l'ensemble de nombres de départ et, de fait, les prend toutes, une à une. C'est un peu l'équivalent de "truc" ou de "machin" dans la langue, il ne prend son sens que lorsqu'on désigne quelque chose de précis : "passe-moi le truc ..." en montrant un marteau.
Par exemple, si mon ensemble de départ est l'ensemble des entiers naturels alors ma variable prend tour à tour les valeurs 0,1,2,3,..., etc. Ce peut être aussi un intervalle de R par exemple [0;1] ou R tout entier de moins l'infini à plus l'infini (attention ! L'infini n'appartient pas à R donc la variable ne passe jamais par l'infini). On dit que la variable "parcourt" l'ensemble de départ. On appelle souvent x cette variable, mais ce n'est qu'une question de convention, elle pourrait s'appeler a, b ou c mais les mathématiciens, pour les reconnaître au premier coup d'oeil, préfèrent les désigner par des lettres de la fin de l'alphabet : x, y, u, v, t etc...
Pour revenir à notre exemple, la fonction va se définir ainsi :
x |-> x + 3 qui se lit au nombre x j'associe le nombre x + 3.
Le nombre de départ x est appelé antécédent et le nombre d'arrivée (x + 3) est appelé image. Image et antécédent sont liés par la fonction.
On donne aussi un nom, sous forme d'une lettre, à la fonction, en général f qu'il ne faut pas confondre avec un nombre : f est un procédé pour obtenir, à partir d'un nombre, un et un seul autre nombre. f est donc, dans notre exemple, la "machine" à ajouter 3. On note ainsi notre phrase : "à l'antécédent x j'associe, à l'aide du procédé f , le nombre (x + 3)" par :
f : x |-> x+3
ou f (x) = x + 3 qui se lit : l'image de x, par le procédé de calcul f, est x + 3.
Notation qui indique dans le même temps, l'antécédent, le procédé et l'image. f(x), qu'on lit f de x, est l'image de x obtenue grâce au procédé f. f(x) est donc un nombre qu'il ne faut pas confondre avec le procédé f !!!
On écrit f : x |-> x + 3 et f(5) = 8 ; f(-3) = 0 et f(0) = 3.
Les fonctions qu'on étudie au collège et au lycée sont les fonctions élémentaires (celles qui sont sur la calculatrice). Les principales sont :
Multiplier par un nombre constant. C'est la fonction linéaire,
Elever au carre,
Prendre l'inverse,
Elever à la puissance n ,
Extraire la racine carrée,
qui sont des fonctions algébriques. Il en existe d'autres, par exemple :
Prendre le sinus d'un nombre ou son cosinus ou encore sa tangente.
On peut assembler ces différentes fonctions à l'aide des opérations courantes, par exemple à l'aide de la fonction linéaire, de la fonction "élever au carré" et "ajouter un nombre" je peux fabriquer une autre fonction en ajoutant tout ce petit monde :
f(x) = 3x²+4x-1.
Pour résumer : une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre, en associe un autre.
Définition de la fonction linéaire.
La fonction linéaire est le modèle mathématique des situations de proportionnalité.
Les fonctions linéaires sont des fonctions qui multiplient toujours par le même nombre.
Prenons un exemple : considérons la fonction qui multiplie par 3.
C'est une fonction linéaire, on écrit f : x |-> 3x ou f(x)=3x ce qui se lit dans les deux cas l'image de x par f est 3x.
L'image de 2 par f est 6, celle de -1 est -3. on note ceci comme ça :
f(2) = 6 et f(-1) = (-3).
On voit que c'est le modèle pour les situations de proportionnalité du type :
"Un kg de carotte vaut 3F" pour 2kg je paie 6F etc, ici, nous n'avons pas besoin des nombres négatifs car il n'y a pas de nombre de kg négatif. C'est pour cette raison que nous disons que la fonction linéaire est un modèle mathématique, elle fonctionne pour toutes les situations, y compris celles où les nombres négatifs ont une signification.
La fonction linéaire est le procédé de calcul consistant à multiplier par un nombre constant. Si nous appelons a ce nombre, toutes les images seront de la forme a.x.
Nous écrivons f : x |-> a.x ou f(x) = a.x.
Le nombre a est donné et connu, ce n'est pas une variable. On le désigne par une lettre pour donner une généralité et non un cas particulier. Il s'appelle coefficient directeur et correspond au coefficient de proportionnalité dans les situations de proportionnalité.
Propriétés des fonctions linéaires.
Ce sont des propriétés qui définissent ce qu'est une application linéaire.
Propriété 1.
Soit f : x |-> a.x alors on a :
f( a + b) = f(a) + f(b)
Autrement dit : l'image d'une somme de deux antécédents est la somme des images de chaque antécédent.
Exemple : f : x |-> 1,5.x
f (-3 +5) = f(2) = 1,5 .2 = 3
f(-3) + f(5) = -4,5 + 7,5 = 3
Démonstration :
f : x |-> a.x
f(x + y) = a.(x + y) = a.x + a.y = f(x) + f(y).
Propriété 2.
Soit f : x |-> a.x alors on a :
f(k.x) = k.f(x) Cette propriété est due à la commutativité et à l'associativité de la multiplication.
Démonstration :
Soit f : x |-> a.x :
f(k.x) = a(kx) = k(ax) = k.f(x)
Si on multiplie l'antécédent par un nombre, alors l'image est multipliée par le même nombre.
Exemple :
Soit f : x |-> 3.x
f(4.2) = 3.4.2 = 24.
4.f(2) = 4.3.2 = 24
La représentation graphique, dans un repère orthonormal, est une droite contenant l'origine. L'nclinaison de cette droite dépend du coefficient directeur (comme son nom l'indique) comme l'indique l'animation suivante :
1. Définition
Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b.
C'est une fonction linéaire à laquelle on a ajouté une constante b. Cette constante se nomme ordonnée à l'origine parceque quand x = 0, c'est à dire quand x est sur l'origine, alors f(0) = b.
2. Propriétés.
Attention ! Les propriétés des fonctions linéaires ne sont pas celles des fonctions affines.
Deux fonctions affines qui ont le même coefficient directeur sont représentées par des droites parallèles.
Deux fonctions affines f(x) = ax + b et g(x) = a'x + b' sont des représentées graphiquement par des droites perpendiculaires si le coefficient directeur de l'une est l'inverse de l'opposé de l'autre, c'est à dire si aa' = -1 ou encore a = -1/a'.
an.am = an+m
an/am = an-m
(am)n = am.n
a0 = 1 avec a différent de 0, 00 n'a pas de sens !
a-p =1/ap
(a.b)p = ap.bp
Il existe un nombre réel e tel que :
On appelle ce nombre base des logarithmes népériens.
pour n
appartenant à N.
La fonction exponentielle est définie pour tout réel.
Elle est strictement positive et croissante sur son domaine de définition.
C'est une bijection de R sur R*+ ce qui implique ex = ey <==> x = y
Limites aux bornes du domaine de définition.
Fonctions définies par f(x) = (exp o u)(x) ou eu(x), u dérivable sur Du'.
1. Dérivabilité et dérivée
u doit être dérivable sur le domaine de définition de sa dérivée, comme l'exponentielle est dérivable partout, f est dérivable sur Du'.
f '(x) = eu(x).u' (x)
2. Limites
3. Formes indéterminées
Développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0.
exp(x) = 1 + x + 1/x² + o(x)
Nous nous intéresserons qu'à la fonction logarithme népérien c'est à dire de base e.
Définition de la fonction logarithme.
La fonction logarithme est définie comme la primitive de 1/x qui s'annule en 1.
On la note ln(x).
Règles de calcul sur les logarithmes.
Les règles de calcul sont données sur le domaine de définition (voir ci-dessous).
ln(a.b) = ln(a) + ln(b)
Attention ! Les parenthèses et ln ne sont pas "distributives", on ne peut pas développer !
ln(a + b) n'est pas un produit mais la composée de la fonction ln avec la somme a + b. Ne faites pas cette erreur grossière. Il s'ensuit que ln(a + b) n'est pas "manipulable".
Domaine de définition et croissance.
La fonction logarithme est définie sur R*+ . Elle est strictement croissante sur son domaine de définition.
C'est une bijection de R*+ sur R. Ceci amène les propriétés suivantes :
ln(a) < ln(b) <=> a < b et
Ces propriétés sont utiles pour la résolution d'équations logarithmiques du type :
ln(X) = ln(Y) avec X et Y représentant des expressions algébriques, on résout X = Y.
D'autre part, on a, pour tout x appartenant à R*+ , ln(x) < 0 <=> x < 1.
Limites aux bornes du domaine de définition.
Limite en 0+ : lim ln(x) = -infini
Limite en + infini : lim ln(x) = + infini.
Les limites fondamentales à connaître sont :
Limite en + infini :
lim ln(x)/x = 0, autrement dit, la fonction 1/x l'emporte sur la fonction ln(x) en + l'infini.
lim ln(x)/xn = 0 avec n appartenant à Q*+
. Entre autre, si n = 1/2 on a : lim 
Limite en 0+ :
lim x.ln(x) = 0.
lim xn.ln(x) = 0 avec n appartenant à Q*+. Voir règles de calcul sur les puissances.
Autres limites :
en 1, lim ln(x)/(x-1) = 1
en 0, lim ln (1 + h)/h = 1. Cette derniere est souvent utilisée lors des exercices
Relations entre fonction logarithme et fonction exponentielle.
La fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Leurs courbes sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. (Voir courbe)
Pour tout x appartenant à R on a :
ln (ex) = x
Pour tout x appartenant à R*+ on a :
eln(x) = x
Pour tout x appartenant à R*+ et pour tout a appartenant à R on a :
xa = ealn(x).
Fonctions composées f = ln o u.
Tout ce qui suit s'entend sous ces conditions : u existe et u(x) > 0.
Domaine de définition :
Le domaine de définition est défini par les conditions ci-dessus.
Dérivabilité et dérivée :
La fonction ln est dérivable partout sur son domaine de définition. Sa dérivée est (de par sa définition) :
ln' (x) = 1/x
Si u est dérivable sur son domaine de définition, alors par le théorème de dérivation des fonctions composées f est dérivable sur son domaine de définition. Sa dérivée est :
f' (x) = u' (x) / u (x).
Cas où u est une valeur absolue : f(x) = ln (abs(u(x))). Cela ne change rien à la dérivée mais change le domaine de définition puisque u(x) n'a plus à être positive mais uniquement différente de 0.
Courbe représentative de ln(x).
Résolution d'équations ou d'inéquations contenant des logarithmes
1. Type d'équation où ne figure que des termes de la forme ln (u(x)).
Il faut déjà déterminer l'ensemble de définition de chaque terme, les u(x) doivent être strictement positifs.
On met en suite les deux membres sous la forme ln X = ln Y .
On utilise la bijectivité de ln et on pose X = Y.
On résout l'équation X = Y en écartant les valeurs qui n'appartiennent pas à l'ensemble de définition.
Exemple : Soit à résoudre l'équation ln ( x² - 1) = ln ( 4x - 1) - 2ln 2.
Etape 1
On détermine, pour chaque logarithme, le domaine de définition :
Il faut que x² - 1 >0 soit ( x - 1)( x + 1) > 0
x² - 1 >0 pour -inf < x < -1 et 1 < x < +inf
Il faut aussi que 4x - 1 > 0 ce qui est obtenu pour x > 1/4.
On fait l'intersection de tout ça et l'ensemble des solutions doit se trouver dans 1 < x < +inf.
Voilà pour la première étape qu'il ne faut pas négliger.
Etape 2
A l'aide des règles de calcul sur les logarithmes, on met l'équation sous la forme ln X = ln Y.
On sait que 2ln 2 = ln 22 d'une part et que ln ( 4x - 1) - ln 22 = ln ((4x - 1) / 22) d'autre part.
L'équation s'écrit maintenant :
ln ( x² - 1) = ln ((4x - 1) / 4)
Etape 3
En utilisant la bijectivité de ln on peut poser :
x² - 1 = (4x - 1) / 4 soit 4x² - 4x - 3 = 0
Etape 4
que l'on résout facilement (voir 2nd degré en construction).
x1 = -1/2 et x2 = 3/2.
On écarte x1 qui n'apartient pas à l'ensemble de définition de l'étape1. La solution unique est x = 3/2.
Changement de base de logarithme.
Loga (x) = Logb (x)/ Logb (a)
Où Loga (x) est le log de base a de x et Logb (x) celui de base b.