filtres

Les filtres

Fréquence de coupure d'un filtre : est définie lorsque la puissance P(out) du signal est la moitié de celle de son entrée P(in).

Lorsque que vous injectez différentes fréquences sinusoïdales à l'entrée d'un filtre passe-bas, on retrouve à la sortie de ce filtre ces fréquences avec une certaine atténuation. Cette atténuation est d'autant plus forte que la fréquence est élevée. En effet un condensateur se comporte comme un court-circuit à fréquence élevée. A la fréquence de coupure : Fc --> P(out) = 1/2 P(in). Comme P=U2/R --> U2(out) = 1/2 (U2(in)). En imaginant que R(in)=R(out). Ce qui est rarement le cas d'ailleurs. Nous opterons pour cette nouvelle convention ou nouvelle formule. Pour cette fameuse fréquence de coupure.

Notion du Décibel : le décibel est par convention 10 fois le log(10) du rapport de la puissance de sortie sur l'entrée.

à la fréquence de coupure, on a 10 log (1/2) = 10 (log1-log2)= 10 log1 - 10 log2 = - 10 log 2 = ~ -3 Db de gain.

Une atténuation est une diminution de l'amplitude de la sinusoïde c.-à-d. une diminution de la hauteur de cette sinusoïde.

Notion d'impédance : Comme notre condensateur atténue l'amplitude de la sortie de notre signal sinusoïde et ce d'autant plus que la fréquence est élevée ! On pourrait imaginer que ce condensateur est une résistance et que cette résistance diminue suivant que la fréquence augmente. Mais une résistance ne déphase pas le signal et le condensateur lui déphase le signal. Alors, on dira que le condensateur à une certaine impédance que l'on appellera celle-ci Z. Et cette impédance Z est autant plus basse que la fréquence est d'autant plus élevée et elle est autant plus basse que sa capacité est plus grande. Ce qui impliquera que dans la formule de cette impédance Z, on retrouvera f-> fréquence et C->Capacité au dénominateur.

Comme le condensateur déphase la sinusoïde, c'est j qui représente se déphasage dans la formule.

Ce j est en réalité un nombre imaginaire.

Voici cette théorie des nombres imaginaires :

Tout nombre complexe est un couple ordonné de nombres réels tel que le (a,b).

Dans ce couple, a est un nombre réel et b est un nombre dit nombre imaginaire.

(1,0) est un nombre complexe dont l'unité réel est 1.

(0,1) est un nombre complexe dont l'unité imaginaire est 1 et nous la représenterons par la lettre j.

La norme du nombre complexe tel que (a,b) est a2 + b2.

Le module de (a,b) est la racine carrée de a2 + b2 ou |(a,b)| .

(-a,-b) est dit opposé de (a,b).

(a,-b) est dit conjugué de (a,b).

La somme de nombres complexes. (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b').

La différence de nombres complexes : (a,b) - (a',b') = (a-a',b-b').

Le produit de nombres complexes : (a,b).(a',b') = (aa'-bb',ab'+ba').

(0,1).(0,1)= ((0*0)-(1*1),(0*1)+(1*0))=0-1,0 = -1

j2 = -1

j . j = -1

j est la racine carrée de -1

(a,0)+(0.b) = (a,b)

a + bj = (a,b)

Forme géométrique :

Tout nombre complexe (a,b) peut être caractérisé par un vecteur, dans notre figure ci-dessus, il est de couleur rouge et par son angle alpha avec l'axe des réels.

L'axe horizontal représente les réels et l'axe verticale représente les imaginaires.

Pour le nombre complexe (a,b) : a représente le nombre réel et b représente le nombre imaginaire bj.

 Si A est la grandeur du vecteur rouge, on aura --> (a,b) = A (cos + j sin ) car a = A cos et b = A sin

Nous écrirons (a,b) = A [_ pour dire que le nombre complexe (a,b) est représenté par la grandeur du vecteur rouge et par son angle .

Attention A est le module de (a,b) ou de a+bj

 A et le déphasage sont le résultat d'une somme vectoriel.

Somme vectoriel :

Pour faire la somme vectoriel de V1 et de V2, il faut tracer le vecteur V1 en vert et le vecteur V2 en rose comme sur la figure ci-dessus.

Ensuite, porté un vecteur parallèle à V2 au bout du vecteur V1, puis joindre en rouge le point Origine des axes, au bout du dernier vecteur construit.

 

Et voilà, ce vecteur rouge est le vecteur somme de V1 et de V2.

Rien de bien difficile à cela, c'est vraiment un jeu d'enfant.

Le triangle rectangle : Le triangle rectangle est fondamentalement intéressant, grâce à lui beaucoup de techniques anciennes et modernes existent. Il est une clés primordiale pour la géométrie et la trigonométrie. Vous ne pouvez pas faire d'étude supérieur sans le connaître à fond.

  1. Dans un triangle rectangle, la somme des deux angle non droit est de 90°.
  2. L'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle, il est le côté opposé à l'angle droit.
  3. Le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des 2 autres côtés. (BC)2 = (AC)2+(AB)2
  4. d'où (BC) = à la racine carrée de (AC)2+(AB)2.
  5. La surface du triangle rectangle est égale à sa base multiplié par sa auteur et le tout divisé par deux.
  6. S = (AC).(AB) / 2.
  7. La somme de tous ses angles est de 180°.
  8. Le sin de l'angle C = AB / BC
  9. Le cos de l'angle C = AC / BC
  10. Le sin de l'angle B = AC / BC
  11. Le cos de l'angle B = AB / BC
  12. La tg de l'angle C = AB / AC
  13. La cotg de l'angle C = AC / AB

Gain du filtre dit passe bas

Gain = Uout / Uin et Uout = Ic. Zc et Ic = Uin / (R+Zc) d'où Uout = (Uin / (R+Zc)).Zc

Uout = (Uin . Zc) / (R+Zc) = Uin . (Zc / (R+Zc))

Gain = Zc / (R+Zc)

Vous constatez que le dénominateur du gain est un nombre complexe, en effet, en introduisant R et Zc, nous avons introduit des vecteurs, et ce qui caractérise la grandeur d'un nombre complexe est son module.

Et si, la constante de temps = R.C et que j2F = P la formule devient.

A la fréquence de coupure le gain en tension = 1 / la racine carrée de 2 d'où

 

Ex) si = 1 msec, la fréquence de coupure f0 est de 1 / (2.0,001) = 1/ 0,0062832= 159,1 Hz

Comment varie le déphasage en fonction de la fréquence :

A la fréquence de coupure le déphasage est - arc tg 1 = - 45°

 Attention, si tg 45° =1 on dira que l'arc tg 1 = 45°, c'est juste l'opération inverse.

Cette formule permet d'avoir une courbe appelée gabarit, elle est bonne quelque soie la constante de temps du filtre passe-bas. Très pratique!

 

Ils est plus commode d'utiliser une échelle logarithmique pour les fréquences.

On remarque qu'il y a deux asymptotes horizontales.

La première on la trouve en faisant tendre vers 0, d'où l'angle tend vers 00, ce qui est l'axe horizontal / 0 .

La deuxième on la trouve en faisant tendre vers l'infini, d'où l'angle tend vers -900. Elle est une droite horizontale parallèle à l'axe horizontal.

Sans vous en rendre compte vous venez d'appliquer la théorie des limites.

Une asymptote est une droite pour lequel la variable de notre courbe en rouge se rapproche de plus en plus sans jamais y arriver. Il y a trois type de droite asymptotique, l'horizontale, la verticale et l'oblique.

La Courbe de gain

Même

Trouver l'asymptote horizontale

Faisons tendre la fréquence vers une fréquence nulle non nulle --> w/w0 =0 --> u=0 --> le gain = 1/(1+0)=1 et 20log de 1 = 0Db en tension. Notre asymptote horizontale est donc l'axe des fréquences w/w0. On remarquera qu'à fréquence nulle, nous ne sommons plus en régime alternatif mais en régime continu. Toute tension continue est transférée à la sortie du filtre pour autant que l'on est un condensateur parfait sans fuite de courant. Est même, si on prend en charge cette fuite de courant de ce condensateur, elle est si petite qu'on peut la négliger dans la plus part des cas.

 

Trouver l'asymptote oblique

Prenons des fréquences assez élevées tendent vers l'infini mais non infinies alors U devient nettement supérieur à 1. D'où on laissera tombé cette unité (1) car elle devient tellement négligeable.

Le gain A = 1/u = 20log 1/u = 20log 1 -20log u = 0-20log u = -20 log u.

C'est l équation d'une droite oblique et dans cette droite si u = 1 le gain A =0 db et si u = 10 le gain A =

-20 log 10 = -20*1= -20 db on dira de cette asymptote quelles fait une inclinaison de -20 db par décade.

Traçons cette asymptote oblique en bleu à partir du point 1 --> w0/w0 --> f0 situé sur l'axe de couleur noir horizontal w/w0 des fréquences est descendant de gauche à droite au second point de coordonnées tel que w/w0 = 10 et -20db.

On retiendra du filtre passe bas l'allure de sa courbe, ce filtre laisse passer les fréquences basses et stop les hautes fréquences et que son asymptote oblique à une inclinaison de -20db par décade. Le gain à la fréquence de coupure est de -3db tension.

Gain du filtre dit passe haut