Table des matière :
introduction.
Première
partie : La vie de Bernard Bolzano.
Deuxième
partie : Les fondements rigoureux de l'analyse.
Troisième
partie : Les paradoxes de l'infini.
Conclusion.
Introduction :
Bolzano
est un personnage fascinant. Homme d'une immense culture, il était
à la fois théologien, philosophe, mathématicien et
scientifique. Les mathématiciens allemands du XIXe siècle
ont reconnu son importance, parmi eux étaient Dedekind, Weiestrass
et Cantor. En logique et en philosophie son oeuvre a été
ignoré, à part par Husserl qui en fut grandement influencé.
Bolzano est né quelques années
avant la révolution française et est décédé
la même année que la révolution de 1848. Il traverse
une époque bouleversée par les révolutions et par
l'évolution de la pensée scientifique et sociale. En tant
que philosophe, il est parmi les premiersà suivre ce nouveau courant
de pensée, en tant que mathématicien il sera à l'écart
de la société scientifique.
Dans le travail que nous vous présentons, nous allons essayer de
vous donner un aperçu global de la vie de ce mathématicien
tchécoslovaque, et de son oeuvre très dense mais peu connue.
Nous présenterons,
dans une première partie, les faits qui ont marqués la vie
de Bernard Bolzano. Dans une seconde partie, nous exposerons, en quoi l'apport
de Bolzano en analyse est important. Nous verrons comment il a consacré
son travail à l'établissement des fondements de la logique,
et par là à établit les fondements de toute science.
En particulier, nous traiterons de ses apports à l'analyse réelle.
Finalement, nous vous exposerons sa théorie sur l'infini qu'il énonce
dans les ''Paradoxes de l'infini'', qui fut le dernier traité qu'il
rédigea pendant l'été précédant son
décès.
Retour :
introduction.
Suite :
Première
partie : La vie de Bernard Bolzano.
Deuxième
partie : Les fondements rigoureux de l'analyse.
Troisième
partie : Les paradoxes de l'infini.
Conclusion.
Bernard Placidus Johan
Nepomuk Bolzano est né à Prague le cinq octobre 1781. Il
est de langue et de culture allemandes. Son père, Bernard Bolzano
un émigré italien, marchand d'art, était une personne
très engagée socialement, qui se sentait responsable du bien-être
d'autrui. Il est un des fondateurs d'un orphelinat à Prague. Sa
mère, Caecilia Moreau, était autrichienne. Elle épousa
Bernard Bolzano à l'âge de vingt-deux ans. C'était
une femme très pieuse. Bernard Bolzano est le quatrième de
douze enfants, malgré sa santé fragile il est un des deux
enfants à survivre jusqu'à l'âge adulte.
Le milieu familial de
Bernard Bolzano va énormément l'influencer dans sa vie et
dans son oeuvre. Il hérite de son père une conscience sociale
et un souci d'autrui qui auront une grande répercussion sur sa vie
et sa conduite. Sa mère lui transmet son goût de la
religion.
De 1791 à 1796 Bolzano
était élève du Gymnasium Piarist à Prague.
C'est en 1796, qu'il entreprend ses études à l'université
de Prague. Il va d'abord entrer à la faculté de philosophie,
puis poursuit des études de théologie et enfin de mathématiques.
Ce n'est donc qu'à la fin de ses études qu'il découvrît
les mathématiques et il recherchera dans cette science ce qu'il
n'a pu avoir dans les autres, c'est à dire, des réponses
claires aux questions qu'il se pose.
Il doit sa formation mathématique autant
à ses professeurs qu'à ses lectures personnelles. Il fut
très influencé et séduit par les traités d'Abraham
Kastner, essentiellement les Mathematische Anfangrunde , parce que l'auteur
démontrait toutes les propositions dont il se servait et n'en posait
aucune comme évidente. A se propos il dit dans Lebensbeschreibung,
19 : ''Lorsque j'ai ouvert une fois par hasard une page dans le
traité de Kastner, des astérisques ont incité ma curiosité
à relire ce passage et j'ai décidé immédiatement
d'étudier les mathématiques, espérant trouver dans
cette science ce que j'avais depuis longtemps cherché en vain. Car
Kastner y démontre ce qu'on passe en général tout
à fait sous silence, parce que tout le monde le sait déjà...''.
Il étudie également les Éléments d'Euclide,
les oeuvres de Leonhard Euler et les mémoires de Joseph-Louis Lagrange.
En philosophie, il découvre Leibniz dont il sera très
proche et Kant auquel il s'opposa entièrement.
En 1804, Bolzano publie sa première thèse
''Considérations sur certains objets de la géométrie
élémentaire''. Un an plus tard, il entre dans les Ordres.
La même année il obtient son doctorat en philosophie et est
nommé au poste de professeur de philosophie de la religion
à l'université de Prague . Il a seulement 24 ans. Son poste
à la chaire de philosophie ne sera reconnue qu'en 1807 par Vienne.
En 1815, il devient membre
actif de la Société des sciences de Bohèmes. C'est
durant cette période qu'il va écrire les cinq mémoires
de mathématiques publiés de son vivant :
Dans l'histoire de la logique
il figure parmi les grands noms qui ont innové dans ce domaine,
tels Aristote, Leibniz et Frege. Il a voulu reconstruire la logique pour
assurer ses fondements et la poser comme base aux mathématiques.
Bolzano a construit un système logique complet et très vaste.
Il expose ce système dans son oeuvre : Wissenschaftslehre.
Il forme sa logique dans une langue naturelle mais très technique
qui la rend peu abordable. Elle est extrêmement novatrice, complète
et avec des particularités parfois déconcertantes.
En mathématiques il
touche à plusieurs domaines. Il se consacre essentiellement à
la reforme de l'analyse. À partir du dix-septième siècle,
avec Descartes et d'autres mathématiciens, nous assistons à
une transformation analytique et algébrique de cette science. Cependant
ce n'est qu'au dix-neuvième siècle que l'analyse prend son
essor et que l'on abandonne ou évite d'utiliser la construction
géométrique pour tirer des conclusions sur les propositions
que l'on fait. C'est à ce sujet que Bolzano s'opposera à
Kant . Celui-ci énonce que les mathématiques doivent
être fondées par des constructions sur l'intuition pure. Nous
avons des connaissances à priori sur les vérités et
nous ne pouvons découvrir que ce qui existe. Nous pouvons le construire
mais nous ne créons rien.
Pour Bolzano, il s'agit d'abandonner
les conjectures à partir de la géométrie et d'essayer
de démontrer de façon analytique tout résultat
trouvé. Il redéfinit tout axiome utilisé et démontre,
ou du moins essaye de démontrer, chaque théorème dont
il se sert. Il s'efforcera de construire une première théorie
des nombres réelles, et sera avec Weiestrass un des créateurs
de la théorie des fonctions réelles. Il étudie
les fonctions continues, dérivables et les suites de fonctions.
Il proposera une doctrine des ensembles et de l'infini et est un
des premiers, sans doute le premier, à réhabiliter l'infini
actuel. Il est le premier à s'être consacré à
la recherche, à la mise en place des fondements des mathématiques
au sens moderne du terme.
Il a eu un apport très
considérable aux mathématiques, son oeuvre est imposante
mais cependant n'aura pas de grandes répercussions sur ses contemporains.
Ses travaux sont peu connus et n'ont été publié que
très tard ( certains dans les années 1970 ). Nous avons dit
précédemment qu'il a été interdit de publication
et donc n'a pu tout publier de son vivant Il n'a pas eu, non plus, le temps
de finir ses travaux. De plus, son travail, très axé sur
la rigueur mathématique et la réforme de l'analyse, a fait
s'éloigner de lui les scientifiques de ce siècle qui
étaient plus tournés vers les théories avancées
et vers les applications. Bolzano meurt le 18 décembre 1848, laissant
derrière lui la majorité de ses travaux non publiés.
Une oeuvre considérable qui n'aura malheureusement pas
apporté grand chose au développement des mathématiques.
Retour :
Introduction .
Première
partie : La vie de Bernard Bolzano.
Suite :
Deuxième partie : Les fondements
rigoureux de l'analyse.
Troisième partie : Les paradoxes
de l'infini.
Conclusion :
Le premier mémoire de Bolzano ''Considérations sur certains objets de la géométrie'' consistait à essayer de démontrer, ainsi que l'ont fait ses prédécesseurs, le postulat des parallèles d'Euclide. Un peu plus tard, il se consacrera à l'élaboration et à la mise en place des fondements de la science en général, des mathématiques et de la logique en particulier. Il commence ce travail par la publication du ''Rein Analytischer Beweis...'' (Démonstration purement analytique...) en 1817 et la rédaction de ''Wissenschaftslehre'' (la théorie de la science) pendant sa retraite forcée. Il poursuivra ses travaux dans ''Grossenlehre'' (théorie de la grandeur), et dans ''Functionelehre'' ; travaux qui ne seront publiés qu'un siècle après sa mort. Les ''Paradoxien des Unendlischen'' ( Paradoxes de l'infini ) est son oeuvre la plus remarquable, publiée juste après son décès, en 1851. Nous en parlerons plus en détails dans notre troisième partie.
I- La ''Wissenschaftslehre'' ou théorie de la science :
Bolzano entreprit de rédiger la théorie de la science
pendant les années qu'il a passées chez les Hoffmann. Pour
lui, la logique est une théorie des théories, une théorie
de la science. Son but est de prescrire aux autres sciences la structure
à avoir.
La science, selon Bolzano, consiste en un certain ensemble de vérités
en soi. L'auteur avait une conception platonicienne de la science. Celle-ci
n'est qu'un ensemble de vérités en soi, qui existent hors
du temps et hors de nous (nous verrons d'ailleurs plus loin qu'il utilise
cette idée pour prouver l'existence de l'ensemble infini des vérités
en soi). C'est un monde idéal, où la science a une objectivité
propre. Elle doit être discernée de ses diverses réalisations
dans des traités scientifiques qui sont relatifs à un certain
état des connaissances à une époque donnée.
Il faut faire une distinction entre la science, qui
est la somme de toutes les vérités en soi, et les traités
produits qui ne forment qu'une partie de ce que nous connaissons de la
science.
Bolzano explique les différentes branches de la science par
le fait que nous rassemblons certaines vérités en fonction
de l'utilité que leur réunion particulière peut nous
procurer. Une science n'est pleinement science que sous forme d'exposé
complet et définitif. C'est pour cela qu'il s'efforcera dans chacun
de ses traités d'être le plus précis, complet et global
possible. Mais si la science est un système complet de vérités
en soi comment peut-on expliquer le progrès scientifique, les découvertes
et l'histoire de la science. Bolzano dira que les vérités
en soi sont immuables et toujours là, existantes, mais notre
connaissance de cette science n'est pas encore complète. Ce qui
se trouve dans les traités scientifiques n'est que la partie connue
de la science. Le progrès scientifique se déroule sur un
champ donné qui est celui des vérités en soi et les
différentes sciences découlent du découpage que fait
l'humanité de ce fond global et universel que forment les vérités
en soi. Nous ne connaissons qu'une partie de ce qui existe et notre travail
consiste à découvrir et à organiser ses vérités
ensembles.
Jean Cavaillès souligne l'importance et l'originalité
de la théorie de la science bolzanienne :
''Pour la première fois peut-être la science n'est plus
considérée comme simple intermédiaire entre l'esprit
humain et l'être en soi, dépendant autant de l'un que de l'autre
et n'ayant pas de réalité propre, mais comme objet sui generis,
original dans son essence, autonome dans son mouvement.'' (Sur la logique
et la théorie de la science, 21.)
Ce qui reste le plus important comme apport de Bolzano dans
la théorie de la science c'est le système logique qu'il y
développe et qui est à la base de la logique moderne. La
science, est entièrement démonstration c'est à dire
logique. La logique est universelle et absolue, c'est elle qui permet d'organiser,
de hiérarchiser et de répartir la somme du savoir humain
en sciences distinctes, en systèmes particuliers de vérités.
Après avoir construit son système logique et sa théorie
de la science, il va se tourner vers une autre étape : la construction
du système mathématique.
II- Rein Analytischer Beweis :
Le ''Rein Analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey
Werthen, die ein entgegengesetztes resultat gewahren, wenigstens eine reelle
Wurzel der Gleichung liege.'' est publié en 1817 à Prague.
C'est le quatrième mémoire que Bolzano publie en mathématiques.
Il se propose de démontrer de façon ''purement analytique
le théorème : entre deux valeurs quelconques qui donnent
deux résultats de signes opposés se trouve au moins une racine
réelle de l'équation''. Avant de démontrer ce théorème
il va reprendre en premier lieu cinq des preuves fournies a ce théorème
et montrer du doigt chaque erreur contenue dans ces preuves. Il dénonce
ainsi le manque de rigueur ou les erreurs de logique auxquelles ne s'attardaient
pas les mathématiciens de l'époque. Ceci va l'amener à
exposer sa théorie sur la démarche scientifique. Il insiste
sur la rigueur en mathématiques et sur les erreurs qu'une preuve
s'appuyant sur l'évidence géométrique peut induire.
Il va donc s'appliquer à tout démontrer de façon rigoureuse
et sans omettre aucune évidence qui ne saurait être
démontrée. Pour réussir à prouver le théorème
des valeurs intermédiaires il utilise des ressources de l'analyse
seule, sans recourir aux concepts étrangers, géométriques
ou cinématiques et surtout pas à l'évidence intuitive.
À partir d'un énoncé en apparence banal, Bolzano
décompose le problème et construit peu à peu les outils
qui lui serviront à aboutir à une démonstration rigoureuse
et ''purement analytique''. En effet, il a besoin du concept de suite,
de continuité et du concept de limite. Il se servira également
de théorèmes que nous appellerons intermédiaires,
du fait qu'il ne les a démontrés que dans le but de prouver
le précédent : le critère de Bolzano-Cauchy et le
théorème de la borne supérieure.
1- Les suites et les séries :
Bolzano défini le concept de série comme une ''somme
de termes qui sont formés selon une loi déterminée,
qui ne sont pas tous nuls à partir d'un certain rang, en particulier
si l'on peut augmenter arbitrairement leur nombres''. Il pose les bases
de la théorie de la convergence des séries. Lui qui sera
le défenseur de l'infini actuel il éliminera du calcul des
séries tout ce qui a un rapport avec l'infini actuel. Il va utiliser
les sommes partielles, et les limites et se débarassera des infiniments
petits et des suites divergentes. Son étude des suites et des séries
consistera en l'étude de leur convergence.
a)- La divergence des suites :
Après avoir défini les suites, Bolzano examine ''la variation''
de cette série. Il classe les séries selon leurs comportements
: divergentes, convergentes ou bornées.
Nous avons dit plus haut que Bolzano travaillait avec les sommes partielles
d'une série. Si S n est une série de n termes, V n + 1 =
S n + 1 ? S n est une suite qui peut être soit
croissante ou décroissante, soit quelconque. Si cette variation
{ V n + 1 } n ? ? est constante ou croissante, la série
diverge vers l'infini. Bolzano montre que nous pouvons rendre ''la valeur
de cette série plus grande que toute valeur donnée si l'on
prolonge la série suffisamment loin''.
Démonstration :
Si l'accroissement S r + n ? S- r est supérieur
ou égal à une certaine valeur d, alors on peut rendre la
série supérieure à tout nombre donné D.
Si l'on prend un entier k supérieur ou égal à
D/d. En prolongeant la série de k.n termes on a :
S r + k. n ? S r =
S r + k.n ? S r + ( k-1). n + S r + (k-1) .n
? S r + (k-2) .n ?... ? S r + n ? S r
Or chaque S r + n ?S r
? d
d'après l'hypothèse.
On a k fois S r + n ? S n
et donc
S r + k n ? S r
? k.d
De plus on a choisi k = (D/d)
=> S r + k n
? S r
? (D/d) . d = D
on obtient bien S r + k n
? S r ? D.
On voit bien que si la variation est plus grande qu'un certain nombre
nous pouvons toujours rendre notre suite aussi grande qu'on voudra en choisissant
le rang approprié.
Bolzano parle ensuite de séries bornées qui ne
dépasseront jamais une certaine valeur. L'exemple qu'il donne est
celui de la série alternée :
a? a + a - a + ...
cette série ne dépassera jamais a si
a est positif ou 0 si a est négatif.
Nous avons déterminé jusqu'à présent deux
classes de séries : les séries divergentes et les séries
bornées cependant il en existe une troisième et non la moindre
une classe de séries ''particulièrement remarquable'' telles
que ''la variation qu'éprouve leur valeur par un prolongement des
termes poussé aussi loin que l'on veut reste toujours plus petite
qu'une certaine grandeur, qui peut être à son tour prise aussi
petite que l'on voudra, si on avait déjà prolongé
la série suffisamment loin''. En ces termes Bolzano exprime de façon
littérale le critère de Cauchy.
b)- Le critère de Bolzano-Cauchy :
l'énoncé du théorème est de façon
plus formelle :
la série ? Sn converge si
et seulement si elle satisfait à la condition suivante :
pour tout ? positif , il existe
un entier N tel que dès que
n et m dépassent
N alors la valeur absolue de
S n ? S m est inférieur
à ? .
En premier lieu, l'auteur donne deux exemples de séries
satisfaisant à cette condition :
1- toutes les séries dont les termes sont nuls à partir
d'un certain rang.
En effet, si ?S n ? est une suite quelconque
telle que pour N ? ?
on a ? k ? ? S N + k = 0.
Alors ? S n = S 1 +
S 2 + ... + S N + S N + 1
+... + S N + k + ...
Or S N
+ S N+1 + S N+2 +... = 0
Donc ? S n =
S 1 + S 2 + ... + S n = S la
série est convergente et elle vérifie le critère de
Bolzano-Cauchy :
On a bien pour n, m ? N
? S n ? S m ? = ? 0 ? 0 ? <
? ? ? > 0 .
2- ''toutes les séries dont les termes décroissent soit
exactement comme dans une progression géométrique dont la
raison est une fraction proprement dite, soit encore plus rapidement''.
Soit une série d'une progression géométrique :
S n = a + a e +a e? + ... + a e? = a
(1 -e (1+n))/ (1 -e ) telle que
?e? ? 1.
la variation de cette série :
S n + r ? S n = a e
+a e + ... + a e
= a e (1 -e )/(1 -e )
On a par hypothèse ?e? ? 1 ; on a donc
quel que soit l'entier positif r,
ae
(1 -e )/(1 -e ) < ae
( 2 / (1 -e ))
et lim ? ae ( 2 / (1 -e )) ? = 0 lorsque n
? ? .
Bolzano tente de donner une démonstration du théorème
pour les suites mais n'y arrivera pas vraiment. Son raisonnement est le
suivant :
Soit une suite ?a n ?, qui verifie le critère
de Bolzano-Cauchy,c'est à dire que
? ? > 0
? N ? ?tel que n, m > N ? a n
? a m ? < ?
Il suppose qu'il existe une grandeur X aussi proche que l'on
veut des termes de la suite pour un n suffisement grand.
Soit d > 0
? N ? ? ? n ? N , ? lim
a n ?X ? < d
On suppose ici que la limite s'approche d'une grandeur X.
Par hypothèse on a ? a n ? a n + r ?
< d ? r
> 0.
Et si on augmente r ? a n +
r ? lim a n ? < ? pour
? positif aussi petit que l'on veut.
Donc on a ?a n ? lim a n
? ? ? a n ? a n + r?
+ ? a n + r ? lim a n ?
d'après
l'inégalité du triangle.
? d
+
? .
or ? est aussi petit que l'on veut pour r asssez grand
donc :
?a n ? lim a n ? < d
Nous avons montré que si ?a n
? verifie le critère de Bolzano-Cauchy a n
peut s'approcher aussi prés que l'on veut de sa limite mais nous
n'avons pas démontré que cette limite existe vraiment.
La preuve de Bernard Bolzano contient une deuxième partie qui
prouve l'unicité de la limite si celle-ci existe et cette fois la
preuve est correcte :
Supposons que lim a n = X
et lim a n = Y soit qu'il existe deux grandeurs
différentes
X ? Y qui sont limite de cette suite.
On a alors ? X ? a n ? < ? et
?Y ? a n? < ??
où ? et ?? sont
aussi petit que l'on veut pour n assez grand.
Alors ,
? X ? Y? = ? X ? a
n + Y ? a n ? ? ? X ? a n ? + ?Y ?
a n? d'après l'inégalité
du triangle.
? X ? Y?
< ? + ?? et donc
puisque ? et ?? sont aussi petit que l'on veut
Alors,
X = Y.
Bolzano ne démontre que la possiblité de l'existence d'une
limite et non son existence. Il lui manque pour cela, une théorie
des nombres réels sur laquelle il travaillera 15 ans plus tard dans
''Grossenlehre'' (la théorie de la grandeur). Il conclut cette
partie sur les séries en nous mettant en garde contre les séries
dont le terme général tend vers zéro mais qui ne converge
pas. Il donne le contre-exemple de la série harmonique
1 + (1/2) + (1/3) + ... +(1/n) +...
Bolzano énonce donc le critère de Cauchy avant
celui-ci, les historiens ont émis des hypothèses sur le fait
que Cauchy aurait eu accès aux travaux de Bolzano, d'ailleurs ils
se sont rencontrés à plusieurs reprises à Prague.
2- Le concept de borne supérieure :
a)- L'énoncé du théorème :
Le concept de borne supérieure est un des concepts analytiques
les plus importants établis dans le Rein analytischer Beweis. Mais
Bolzano le pose uniquement dans le but de s'en servir comme moyen afin
de prouver le théorème des valeurs intermédiaires.
Il l'énonce comme suit :
''Si une propriété M n'appartient pas à
toutes les valeurs d'une grandeur variable x, mais appartient à
toutes celles qui sont plus petites qu'un certain u : alors il existe toujours
une grandeur U qui est la plus grande de celles dont on peut affirmer que
toutes les valeurs inférieures x possèdent la propriété
M.''
Le théorème était
connu à l'époque mais la démonstration que Bolzano
donne est la première correcte et complète à
être publiée. Cependant une vingtaine d'années plus
tôt Gauss rédige une démonstration de ce théorème
qui ne sera pas publié. Une fois définies les notions préliminaires,
Gauss construit les concepts de majorant et de borne supérieure
:
''Si une suite a' , a'' , a''' etc. ( R ) dans laquelle,
pour tout indice, le terme correspondant reçoit
une valeur réelle finie, est telle que, aussi loin qu'on la prolonge,
elle ne contienne aucun terme supérieur à une grandeur donnée
?, on peut appeler ? une borne supérieure pour la suite. En revanche,
si aucune grandeur n'est suffisamment grande pour pouvoir être appelée
borne supérieur conformément à ce concept, ou, en
d'autres termes, si l'on peut, dans cette suite, parvenir aux grandeurs
aussi grandes que l'on désire ou aux grandeurs encore plus grandes
lorsqu'on la prolonge suffisamment loin, on dit que la suite n'a pas de
borne supérieure.''
Gauss était arrivé au même résultat que
Bolzano mais il y avait quelques différences entre les deux auteurs.
Bolzano définit son concept de borne pour un ensemble, alors que
Gauss le fait pour une suite. La méthode de Gauss est plus élégante
et plus naturelle, celle de Bolzano est plus longue et plus ardue.
Le ressemblance des deux travaux est plus importante, ils soulignent
tous les deux que le théorème ne dit pas si la borne appartient
ou non à l'ensemble (ou à la suite), ils soutiennent la possibilité
des deux cas.
b- Démonstration de Bolzano:
La démonstration est fondée sur l'approximation de la
borne par une suite d'intervalles obtenus par dichotomies successives et
dont la longueur a pour limite zéro. Il utilise une méthode
qui est neuve dans le fait qu'elle soit entièrement arithmétique.
Elle se présente en cinq étapes :
i)_ On a une propriété M qui tient pour toutes les valeurs
de x qui sont inférieures à u mais qui ne tient pas
pour tous les x donc il existe un V = u + D où
D est un réel positif tel que la propriété M
ne tient plus pour tous les x inférieurs à
V.
Il s'agit de savoir maintenant pour quelles valeurs de m a-t-on
:
M tient pour tous les x inférieurs à u +
? ?
Pour m = 0 on a M tient-il pour tous les x inférieurs
à V = u + D ce qui est faux par hypothèse.
Si pour tout m ? ?, on a M ne tient pas pour tous
les x < u + ? , alors le U cherché est le u.
Car par le principe d'Archimède, s'il existe un d
tel que M tient pour tous les
x < u + d alors on peut toujours trouver un m, tel
que ? < d et on aurait M tient pour tous les
x < u +d et M ne tient pas pour tous les u +
? qui est plus petit que u + d ce qui est une contradiction.
ii)_ Maintenant s'il existe un m tel que M
tient pour tout x inférieur à u + ?
et si m est le plus petit entier qui vérifie cela alors
M ne tient pas pour x < u + ?
on a u + ? ? ( u + ? )
= ?
à ce moment on cherche pour quels entiers n
on a :
M tient pour tous les x < u + ?
+ ?
De nouveau deux cas se présentent :
Soit M ne tient pas pour tous les x
< u + ? + ? pour tout entier
n alors
U = u + ? .
iii)_ Soit il existe un n tel que M tient
pour tous les x < u + ? + ? mais
pas pour
x < u + ? + ? à
ce moment on répète le procédé.
iv)_ En continuant ainsi nous avons deux résultats possibles
:
? Soit on trouve la valeur U qui sera de la forme
u + ? + ? + ... + ?.
? Ou alors on trouve un certain r tel que
M tient pour tous les x <
u + ? + ? + ... + ?. Mais
M ne tient plus pour tous les x < u +
? + ? + ... + ? et il faudra
répéter le procédé en augmentant le nombre
de termes dans la série.
v)_ Dans ce dernier cas, la série est une série de Cauchy,
elle satisfait au critère de convergence qu'a posé Bolzano
plus haut.
? ? ?
? ? < ? pour tout ?
> 0 et n, m suffisamment grand.
Cette série converge vers une certaine valeur réelle
U qui sera notre borne supérieure cherchée.
Ce qui achève la démonstration.
3- Le théorème des valeurs intermédiaires :
a)_ L'énoncé du théorème :
Nous arrivons à la fin du mémoire ''Rein Analytischer
Beweis...'' où Bolzano énonce le dernier théorème
celui des valeurs intermédiaires. Ce théorème est
annoncé dans le titre il le formule de manière très
générale :
''Si deux fonctions de x, f(x) et ?(x), varient suivant
la loi de continuité ou bien pour toutes les valeurs de x, ou bien
au moins pour toutes celles qui sont situées entre ?
et ? ; si de plus f(?) < ?(?)
et f (?) > ?(?) : alors il existe toujours
une certaine valeur intermédiaire de x entre ? et
pour laquelle f(x) = ?(x).''
A fin de montrer ce théorème Bolzano a besoin du théorème
de la borne supérieure et du concept de continuité. Dans
sa définition de la continuité il n'utilise pas les infinitésimaux
ce qui est une nouveauté pour l'époque il dit :
'' f(x) varie de façon continue pour tous les x
qui sont situés entre a et b si pour tout
? > 0 tel que x + ? est situé entre a
et b f(x + ? ) -f(x) est aussi petit que l'on veut lorsque
on prend ? suffisamment petit.''
Pour la preuve de ce théorème il va procéder par
quatre cas suivant le signe de ? et celui de ?.
Étudions-la pour ? < 0 <
? .
b)_ Démonstration :
a) Nous avons supposé ? < 0 <
? alors il existe un réel ? positif tel que
? = ? + ?..
D'autre part f et ?
sont deux fonctions continues entre ? et
?, donc pour tout
0 < t < ? on a f et
? continues en ? + t .
toujours par continuité de
f et ? , et comme f(?)
< ?(?), il existe un t compris entre
0 et ? tel que si h
est inférieur à t alors
f(? + h) - f(?) = A et
?(? + h) - ?(?) = B.
où A et B peuvent être aussi petit
que l'on veut si t est suffisamment petit.
On a ?(? + h) - f(
? + h) = ?(?) - f(?) + A - B .
Or par hypothèse ?(?) - f(?) > 0 et
est fixée . donc ?(? + h) - f( ? + h) > 0 pour
h<t.
Ou encore f( ? + h) < ?(? + h)
pour h < t .
Notons M cette propriété et utilisons le théorème
de la borne supérieure :
M ne tient pas pour h = ? car
on aurait f (?) < ?(?) ce qui est
faux par hypothèse on a le contraire.
Les conditions du théorème sont respectées donc
il existe un réel U >0 tel que :
U = sup?h : f(? + h) < ?(? + h)?.
b) On a 0 < U < ?
On a déjà U > 0 ,
si U = ? alors on a f(? +
h) < ?(? + h) pour h aussi près
que l'on veut de ? . Mais on a supposé f (?) >
?(?) donc par continuité de f et ?
on a aussi
f (? ? h ) < ?(? ? h) pour h
suffisamment petit. Donc f (? + ? ? h) > ?(? +
? ? h) ce qui est contraire à la définition
de U car ? + ? ? h est inférieur à
? + ? et donc on devrait avoir f (? + ? ? h)
< ?(? + ? ? h)
Supposons maintenant que U > ? alors f (?)
< ?(?) ce qui est contraire à l'hypothèse.
c) Considérons maintenant la valeur x = ? +
U.
Supposons que f(x) < ?(x) alors f( x + h)
< ?(x + h) par continuité de f et de ? et pour h
suffisamment petit et donc a + U n'est pas la plus grande valeur de x pour
laquelle f(x) < ?(x) ce qui contredit la définition
de U.
Supposons que f(x) > ?(x) alors f(x -h ) > ?(x -h
) par continuité de f et de ?
pour h suffisamment petit et donc M n'est pas vraie pour tous les h <
t .
On en conclut que f(x) = ?(x) .
Bolzano fait la remarque que la valeur de x qui égalise f
et ? n'est pas forcément unique.
Il poursuit son texte par la démonstration de la continuité
des fonctions polynomiales puis utilise le dernier théorème
pour montrer qu'une fonction polynôme s'annule losqu'elle change
de signe.
III- La théorie des fonctions :
Dans la logique de créer une science globale, qui regroupe toutes
les vérités particulières à cette science,
Bolzano étudie les fonctions de variables complexes et présente
une théorie des fonctions réelles pratiquement complète.
Le traité ''Functionenlehre'' est rédigé vers
1833-1834, mais ne sera découvert et publié qu'un siècle
plus tard dans les années 1830. Ce traité contient des résultats
important sur la théorie des fonctions réelles, plus particulièrement
le premier exemple d'une fonction continue en tout point mais nul part
dérivable. Il proposera également des définitions
de chaque concept lié aux fonctions : notion de fonction à
variables réelles, continuité, dérivabilité
et convergence de série de fonctions.
1- Le concept de fonctions de variables réelles :
Au début du XIX siècle, nous assistons à la transformation
du concept de fonction. En effet Euler donne une définition de cette
notion qui reste très restrictive :
''une fonction de quantité variable est une expression analytique
composée, de quelque manière que ce soit, de cette même
quantité et de nombres, ou de quantités constantes.'' (Introduction
à l'analyse infinitésimale(1748))
Nous remarquons assez directement que cette définition est trop
étroite pour contenir les fonctions que nous connaissons aujourd'hui.
A cette époque se pose le problème de certaine fonction que
l'on ne pouvait représenter graphiquement et qui ne pouvaient être
définies par une expression analytique. Un exemple assez simple
est donné par Dirichlet c'est la fonction suivante, connue maintenant
sous le nom de la fonction de Dirichlet :
d si
x est rationnel.
F(x) =
où d et c sont des constantes.
c si
x est irrationnel.
On voit bien que cette fonction est discontinue en tout point, elle
n'est pas susceptible d'une représentation géométrique,
et n'est pas définie par une expression analytique. Cette fonction
illustre parfaitement le problème auquel on se heurtait avec la
définition de Euler. Suite à cela, Dirichlet va élargir
le concept de fonction à une correspondance arbitraire comme suit
;
''Il n'est point nécessaire que y dépende
de x dans tout cet intervalle selon la même loi, et on
n'est même pas tenu de penser à une dépendance exprimable
par les opérations mathématiques.''(Repert. Math. und Phys.
,I (1837)).
Bolzano parvient au même concept général de fonction,
dans la même période. Il oppose au concept d'expression données
contenant une représentation de grandeurs variables, de Bernoulli,
Leibniz, Euler et Ohm, ce lui de ''grandeur quelconque dépendantes
des autres, que le mode de sa dépendance, et par là aussi
une expression, soit donné ou non.''. Il dit que ce concept est
présent chez Cauchy, Lacroix et Kastner, entre autres. Il croit
utiliser la conception de Lacroix dans sa définition mais en réalité
il va beaucoup plus loin que ce dernier essentiellement losqu'il parle
de dépendance et de déductibilité :
''Lorsque la chose variable W qui dépend de certaines
autres choses variables X, Y, Z, est une grandeur (que ce soit une
grandeur vraie ou seulement imaginée ), et lorsque les choses X,
Y, Z, sont des grandeurs (vraies ou imaginées), j'appelle la grandeur
W fonction des grandeurs X, Y, z. Je dis donc que la grandeur
variable W est une fonction d'une ou de plusieurs grandeurs variables X,Y,Z
losqu'on a certaines propositions de la forme : la grandeur W a les
propriétés ?1,?2 qui sont déductibles de certaines
propositions de la forme : la grandeur X a les propriétés
?',?'',?''', -la grandeur Y a les propriétés
?, ?', ?'',-la grandeur Z a les propriétés ?, ?', ?'' etc.''
La suite des travaux de Bolzano porte sur la notion de continuité
et celle de dérivabilité.
2- Les notions de continuité et de dérivabilité
:
Dans la deuxième partie des ''Functionenlehre'' on trouve un
travail absolument remarquable qui contient une théorie complète,
construite avec rigueur de la continuité des fonctions ayant une
infinité d'oscillations. Nous allons exposer en premier lieu la
définition que donne l'auteur de la continuité puis nous
donnerons ses résultats les plus importants contenus dans cette
deuxième partie des ''Functionenlehre''.
Bolzano commence par construire des exemples de fonctions discontinues
:
ax si x est de la forme ? (
m, n = 1,2 ,3,4 ,....)
W(x) =
ax - b si x n'est pas de la forme ?
( b ? 0).
Est un des exemples fournis par Bolzano. L'explication qu'il donne
est la suivante :
''Étant donné que pour toute valeur de x qui n'est
pas de la former ? , il y en a d'autres qui sont de cette
forme et qui peuvent l'approcher d'aussi près de telle sorte que
la différence ?x peut être rendue plus petite que tout ? donné,
on voit facilement que pour tout x et pour tout ?x , aussi petit qu'on
le prenne, il devrait y avoir un ?x encore plus petit pour lequel le ?W
correspondant serait égal à a?x + b ou à
a?x - b ; il ne pourrait donc certainement pas diminuer indéfiniment.''
(Funct. 13-14)
Il en résulte donc que la fonction n'est nul part continue.
Par la suite, Il définit la continuité et cette fois encore
sa définition est novatrice. Dans le Cours d'analyse de Cauchy,
celui-ci définit la continuité d'une fonction pour voisinage,
Bolzano va la définir pour un point. Ensuite seulement, elle pourra
être étendue à un ensemble de points ou à un
intervalle. Il va définir de la même méthode la discontinuité,
seulement pour un point. Il donne la continuité en ces termes :
''Lorsqu'une fonction uniforme F(x) d'une ou de plusieurs variables
est telle que la variation quelle subit losqu'une de ses variables x passe
d'une valeur déterminée à une autre valeur x+?x ,
diminue indéfiniment lorsque ?x diminue indéfiniment ; si
donc la différence F(x+?x) - F(x) devient et reste en
valeur absolue inférieure à toute fraction donnée
? lorsqu'on prend ?x suffisamment petit (et pour tout ?x inférieur
à celui-ci), je dis que la fonction F(x) varie pour la valeur x
de manière continue.''(Funct.14)
En transcrivant en symbole l'énoncé de Bolzano nous obtenons
l'énoncé précis de la définition moderne :
? N ,
? ? ( ??x? ? ? ? ?F(x +
?x) - F(x)? ? ? ).
Bolzano mentionne dans son traité la continuité
à droite et à gauche et il parlera même d'une forme
de continuité uniforme.
Parmi les théorèmes importants qui se trouvent dans ce
traité , il y a le théorème de Bolzano-Weiestrass.
Celui-ci affirme que tout ensemble infini borné admet un point d'accumulation.
Bolzano ne le démontre pas mais donne des références
à d'autres de ses travaux, mais on ne retrouvera jamais de manuscrit
contenant cette démonstration. Il énonce aussi le résultat
suivant : que toute fonction continue sur un intervalle fermé est
bornée et atteint ses bornes. Et donc que toute fonction réelle
non bornée sur un intervalle fermé borné n'est pas
continue. Il remarque la propriété importante que toute fonction
continue possède la propriété des valeurs intermédiaires
mais que la réciproque est fausse. Il énonce un théorème
sur les fonctions monotone : si f(x) croît ou décroît
sur
? a , b ? alors elle est continue sur ? a , b ? sauf
sur un ensemble isolé de valeurs fini ou infini (dénombrable).
Il termine son exposé sur les fonctions par le fameux exemple
d'une fonction partout continue mais nulle part monotone ni dérivable.
Cette fonction est la limite d'une suite de fonctions continues. Bolzano
va construire cette suite puis montrer que sa limite existe, puis qu'elle
est continue mais non dérivable et non monotone.
Cet exemple est très complexe et demande une explication approfondie
de chaque étape de la construction, c'est pour ces raisons que nous
allons nous limiter à vous donner un aperçu graphique de
ce que représente cette fonction.
Retour :
Introduction .
Première partie : la vie de Bernard
Bolzano.
Deuxième partie : Les fondements
rigoureux de l'analyse.
Suite :
Troisième partie : Les paradoxes
de l'infini.
Conclusion.
I L'infini avant Bolzano :
La question de l'infini est aussi ancienne que celle
de l'être. Elle fut, d'abord posée sous une forme ontologique
où l'infini représentait ''l'être tel qu'on n'en saurait
concevoir de plus grand''(''ens quo majus concipi non potest''). Vu sous
un autre aspect moins métaphysique, l'infini était seulement
la possibilité de continuer un processus opératoire qui ne
contient aucun principe qui le limite. L'infini mathématique a toujours
oscillé entre ces deux bornes. Peu à peu il va évoluer
pour se séparer du concept ontologique.
Le concept d'infini a toujours apporté des
contradictions, depuis les grecs jusqu'à Leibniz. C'est à
partir de Bolzano que ces contradictions n'ont plus lieux d'être
et laissent place à des paradoxes qui sont des propriétés
de l'infini.
1) l'infini chez les grecs :
Les grec ont été en contact très
tôt et de manière assez directe avec l'infini et ses contradictions.
En effet l'école de Pythagore s'est heurtée au problèmes
des irrationnels (ces grandeurs réelles, qui existent dans la réalité
et qui ne sont pas déterminables par des nombres rationnels.). Cette
crise des nombres a d'ailleurs provoqué la chute de l'école
de pensée de Pythagore. La légende raconte que celui
qui a découvert l'irrationalité de ??2 aurait
péri noyé dans un naufrage. Cela reste tout de même
du domaine du mythe mais cela nous montre bien à quel point l'infini
dérangeait. Ce n'est qu'avec Eudoxe que les nombres irrationnels
algébriques seront reconnus.
Un peu plus tard Zénon d'Élée,
expose le paradoxe de la grandeur. Si l'on prend une ficelle de longueur
L , et que nous la divisons en deux parties égales, et si à
chacune des parties nous appliquons le processus et ainsi de suite à
l'infini. Dans le cas ou nous supposons la ficelle infinie nous devrions
être dans la possibilité de la diviser jusqu'au minimum qui
est nul. Mais dans ce cas cet élément ne peut être
élément de la ficelle car si on l'ajoute à lui même
on n'arrivera pas à avoir la ficelle. Si on la suppose finie, elle
devrait être composée d'éléments indivisibles
et séparés par des intervalles à leur tour indivisibles
et distincts. Mais la ficelle est continue. Une fois encore on tombe dans
une contradiction due à l'infini. C'est à Zénon que
nous devons d'avoir reconnu le piège de la composition du continu
et de sa divisibilité à l'infini. Cependant sa conclusion
constitue une impasse pour les mathématiques.
Un siècle plus tard, avec Aristote la notion
d'infini évolue encore. Celui-ci par opposition à Archimède
nie entièrement l'existence physique d'un infini. Il lui reconnaît
une utilité mathématique, et ce sera lui qui parlera le premier
d'un infini potentiel.
En effet il écrit, dans son texte la Physique,
''Ma théorie, n'enlève rien aux considérations des
mathématiciens, en supprimant l'infini selon l'accroissement qu'on
ne saurait parcourir ; car les mathématiciens n'ont pas besoin de
l'infini et ne l'utilisent pas : ils ont simplement besoin d'une grandeur
finie, choisie aussi grande qu'ils le veulent.''
Donc les grecs butent contre cet infini qui noie les écoles
de pensées les unes après les autres, et ils réussissent
à le contourner parce qu'ils n'en ont pas besoin comme infini actuel.
2) Leibniz :
Avec la ''découverte'' du calcul infinitésimal la question
de l'infini va se poser de façon plus explicite et plus pressante.
En effet Leibniz utilise des éléments infinitésimaux
''dx'' qui déclenche une incroyable polémique. Le calcul
en lui même n'était pas remis en question , on voyait bien
que cela fonctionnait, mais la question ontologique sur la définition
de ces entités se posait. Leibniz va contourner ces questions sur
le statut ontologique de ses quantités fluentes que sont les infiniments
petits et les infiniments grands en les représentant comme des fictions.
Elles ne sont que des instruments de calcul sans existence ontologique.
A partir de là il crée un calcul pour ces fictions, où
il néglige un infiniment petit additionné ou soustrait à
une grandeur finie, il néglige
un infiniment petit d'ordre supérieur additionné ou soustrait
à un infiniment petit d'ordre inférieur (par exemple d2x
ou d3x par rapport à dx ), et néglige un infiniment grand
d'ordre inférieur par rapport à un infiniment grand d'ordre
supérieur, etc.
Le problème avec ce calcul infinitésimal c'est qu'on
ne sort pas d'un infini contradictoire. Par exemple, si l'on prend S un
infiniment petit tel que S soit la borne supérieure de l'ensemble
des infiniments petits. S a la propriété que tout multiple
de lui même est un infiniment petit. S appartient à l'intervalle
borné( 0 , 1 ) . Par la définition de S , 2S est aussi un
infiniment petit mais 2S > S donc S n'est pas la plus
petite borne supérieure de notre ensemble, nous arrivons à
une contradiction avec notre hypothèse.
En 1851, trois ans après la mort de
Bernard Bolzano, Fr. P?ihonsk? publie les ''Paradoxien des Unendlischen''
( Paradoxes de l'infini ). Dans ce texte, comme nous l'avons dit précédemment,
l'infini cesse d'être contradictoire et devient paradoxale, mais
essentiellement il devient infini actuel.
II L'infini actuel.
Bolzano va s'intéresser à
la question de l'infini avant tout d'un point de vue mathématique,
puis , parce que les mathématiques commandent la métaphysique
et la physique, il va en déduire un concept plus général
de l'infini.
Jusqu'à présent les philosophes et les mathématiciens
ne parlaient que d'infini potentiel. Effectivement, nous avons vu plus
haut avec Aristote, que les mathématiciens n'ont besoin que d'une
grandeur qui peut être prise aussi grande que voulue. Il s'agit là
d'un infini potentiel. Pour utiliser un langage imagé, l'infini
potentiel est une source inépuisable permettant de prendre ou de
construire de nouveaux éléments à partir d'éléments
déjà présents. Si nous analysons de plus près
le concept ontologique d'infini, nous verrons qu'un infini actuel ne pouvait
immerger de la conception temporelle des êtres et des objets qu'avaient
les grecs. Dans la philosophie grecque tout est mouvement et transformations
successives. Il fallait donc une idéologie du tout, de l'acte créateur
pour voir se constituer la notion d'infini actuel. À la manière
du Dieu dans l'une des grandes religions monothéiste ( le judaïsme,
la chrétienté et l'islam), le mathématicien va créer
une totalité achevée qui est infini. Cette idée du
tout en soi, infini, existe donc dans la religion mais en mathématiques
nous en sommes restés à l'idée aristotélicienne
de l'infini.
Le passage à un infini actuel, autre que Dieu, est dûe
au mathématicien et théologien Bolzano. L'infini devient
un réservoir contenant la totalité des objets d'une certaine
espèce. Bolzano commence par reprendre et critiquer les définitions
précédentes de l'infini. Il s'attaque directement à
la notion d'infini potentiel des mathématiciens de l'époque.
Comment peut-on parler d'infini là où il n'est question
que d'une grandeur variable et de limites? Pour l'auteur l'infini potentiel
n'est pas une grandeur infinie individuelle mais une grandeur variable
qui prend des valeurs contenus dans un ensemble infini. L'infini actuel
n'est en aucun cas à chercher dans un processus éternellement
inachevé. Si une suite ou une variable peut prendre des valeurs
de plus en plus grandes ou de plus en plus petites cela suppose que l'ensemble
qui contient ces valeurs est actuellement infini. D'autres philosophes
définissent l'infini par ce qui est indéterminable. Ce que
nous entendons ici par indéterminable est l'indétermination
des opérations arithmétiques appliquées à l'infini.
Voici un exemple que donne J. Schulze :
infini + 1 = infini
2 infini = infini
infini = infini
Mais pour Bolzano l'indéterminable n'est pas une explication
possible de l'infini et il donne un exemple semblable au précédent
avec des ensembles finis : ( E représente un ensemble fini)
E + 1 = E
2 E = E
E = E
Ce qui veut dire pour la deuxième expression,
par exemple, que deux fois un ensemble fini ca reste toujours un
ensemble fini.
Pour résumer l'infini chez Bolzano est pris dans une totalité,
présente, actuelle qui n'émane pas d'un procédé
infini inachevé. C'est une négation du fini. Un ensemble
fini est un élément d'une suite qui est formées des
nombres naturelles. À chaque ensemble fini nous pouvons faire correspondre
un nombre naturel. Un ensemble infini est la négation d'un ensemble
fini.
Nous pouvons objecté à Bolzano le
fait qu'on ne peut penser et concevoir un ensemble infini qui peut être
ramasser en un tout. Le prédicat infini et le prédicat tout
peuvent être pensé comme contradictoire et dans ce cas ne
pouvant coexister ensemble.Cependant l'auteur répond à cette
objection au paragraphe 14 des ''Paradoxes de l'infini'':
''Cette affirmation est tout simplement erronée, et l'erreur
est provoquée par la fausse opinion qu'on doit, pour penser un tout
constitué d'objets déterminés a, b, c, d ...s'être
fait des représentations de chacun de ces objets en particulier.
Il n'en est absolument rien. Je peux imaginer l'ensemble, la collection,
ou si l'on préfère la totalité des habitants de Prague
ou de Pékin sans me présenter chaque habitant en particulier''
Il démontre l'existence en soi d'un ensemble
infini. Au paragraphe 13 des ''Paradoxes de l'infini'' il pose la question
: ''y a-t-il des ensembles que nous pouvons, à bon droit, nommer
infinis,...?''
Il démontre l'existence de l'ensemble des
vérités en soi et qui est infini. Il considère une
vérité quelconque, et prend pour exemple la proposition :
''il y a en général des vérités'', qu'il désigne
par A. Ensuite il remarque que la proposition ''A est vraie'', qu'il nomme
B, est différente de A elle-même, celle-ci a un tout autre
sujet que celle-là. Il réitère le procédé
le procédé qui la amené à la proposition B,
et il obtient une troisième proposition C et ainsi de suite indéfiniment.
Le rapport entre deux propositions consécutives reste toujours le
même, chacune est construite en prenant celle qui la précède
et en énonçant qu'elle est vraie. La collection de ces propositions
est plus grande que tout ensemble fini, car pour tout nombre associé
à un ensemble fini nous pouvons construire une collections de ces
propositions contenant un nombre d'éléments plus grand que
ce nombre. Cette collection est donc une pluralité plus grande que
tout nombre, i.e. infinie.
Nous remarquons que Bolzano parle uniquement d'ensembles infinis et
de grandeurs infinies.
III Notion ensembliste de l'infini.
Bolzano parle d'ensembles et de grandeurs infini.
Comme Leibniz il ne reconnaît pas les nombres infinis. Il remarque
au début de son traité que l'ensemble des nombres naturelles
est infini. En effet par une construction semblable à celle qu'il
utilise, plus haut, pour l'ensemble des vérités en soi il
incrémente l'unité pour créer les nombres naturels
par un processus répétitif et infini.
Il va se heurter à un premier paradoxe ou
plutôt une première objection. Si chacun des nombres naturel
est fini comment est-ce que l'ensemble de ces nombres peut être infini?
Cette question peut se poser si l'on considère par exemple l'ensemble
(1,2,3,4...,8 ) des nombres naturels. Nous pouvons dire que
8 est le nombre d'éléments de l'ensemble en question, et
donc nous voudrions conclure que le nombre d'éléments d'un
ensemble (1, 2, 3, ..., n) est n ce qui nous mènerait à dire
que l'ensemble des naturels est aussi grand que son dernier
terme. Or nous avons démontré plus haut que cet ensemble
est infini et donc ne peut être représenté par un nombre,
nous nous retrouvons avec une contradiction. Cependant cette contradiction
est levée à partir du moment où nous précisons
que l'ensemble des nombres naturels n'a pas de dernier terme.
L'auteur remarque deux propriétés importantes des
ensembles infinis :
1- un ensemble infini doit contenir une infinité de partie.
INcontient un nombre infini de nombre.
2- Il y a une bijection entre un ensemble infini et une de ses parties.
Il donne l'exemple de l'ensemble des nombres naturels IN et l'ensemble
des nombres pairs 2IN. En effet :
IN = 1, 2, 3, 4, ... , N,
....
Et
2IN = 2, 4, 6, 8, ... ,
2N, ...
A chaque élément de ? nous pouvons associer un seul élément
de 2IN . Nous sommes bien en présence d'une bijection entre IN et
sa partie 2IN.
En apparence il y a le même nombre de naturels
que de nombres pairs, cependant l'ensemble des nombres naturels contient
les nombres pairs et les nombres impairs. La conclusion de Bolzano est
que cette propriété des ensembles infinis n'est pas une contradiction
mais une caractéristique des ensembles infinis. C'est là
que réside l'originalité des propos de Bolzano.
Après s'être aperçu de cette propriété
des ensembles infinis, il va essayer de faire un calcul infini. Il a remarqué
que la partie est en bijection avec le tout et en déduit que même
si la partie est infinie, du fait qu'elle soit contenue dans le tout, il
existe des infinis plus petit que d'autres. La bijection entre deux ensembles
infinis n'est pas suffisante pour que ces deux ensembles soient égaux
en cardinal. Si A et B sont deux ensembles infinis tels
qu'il existe une bijection entre les éléments de A
et de B alors A = B si et seulement si les deux
ensembles sont ''engendrés de la même façon''. Bolzano
ne va pas plus loin pour expliquer ce qu'il entend par ''engendrer de la
même façon.''. Il refuse d'admettre que les deux ensembles
sont égaux s'il y a une bijection entre eux, parce que pour lui
cette déduction ne peut se faire que pour des ensembles finis. Nous
ne pouvons appliquer cette propriété des ensembles
finis aux ensembles infinis.
À cause de cette restriction trop forte, qu'il se donne,
Bolzano va se retrouver avec une infinité d'infinis différents
et un calcul de l'infini devient très vite extrêmement compliquée.
Bolzano définit également
des grandeurs infinis. Une grandeur infiniment grande est une grandeur
plus grande que tout nombre d'unités, i.e. celle dont tout sous
ensemble fini d'unités ne constitue qu'une partie. Inversement une
grandeur infiniment petite est celle dont tout multiple reste inférieur
à l'unité. Ces grandeurs ne sont pas des réels, selon
les propos de Bolzano une grandeur ne s'exprime ni par un entier, ni par
un rationnel, ni par un irrationnel. C'est quelque chose de plus grand
ou de plus petit que tout nombre. Cette définition s'approche de
l'idée des ipetit et des igrands présents dans l'analyse
non standard. Malgré le fait qu'il définit ces grandeurs,
Bolzano élimine l'infini dans l'analyse et remplace les infiniments
petits par des variables que l'on peut prendre aussi petites que l'on veut,
et les infiniments grands par des variables susceptibles d'être plus
grandes qu'un nombre donné. Il réintroduit, en pratique,
l'infini potentiel qu'il a tant critiqué.
La théorie que Bolzano développe dans les ''Paradoxes de l'infini'' est original. Elle ouvre la voie à une nouvelle interprétation de l'infini mathématique et métaphysique. Cette nouvelle conception influencera Cantor qui crée la théorie des ensembles et qui va plus loin que Bolzano en créant le transfini.
Retour :
introduction.
Première
partie : La vie de Bernard Bolzano.
Deuxième
partie : Les fondements rigoureux de l'analyse.
Troisième partie : Les paradoxes
de l'infini.
Suite :
Conclusion.
Retour :
introduction.
Première
partie : La vie de Bernard Bolzano.
Deuxième
partie : Les fondements rigoureux de l'analyse.
Troisième
partie : Les paradoxes de l'infini.
Conclusion.