Avant toute chose, il convenait de s'assurer de l'existence d'une salle informatique dans mon établissement d'exercice et de faire l'inventaire des capacités des ordinateurs disponibles. En effet, souvent les établissements ont été équipés lors de différents achats ou même lors de dotations par la région ou le département par exemple. Il en résulte des salles informatiques hétérogènes du point de vue du matériel disponible : puissance intrinsèque de la machine, affichage couleur ou monochrome, souris, etc. Dans un deuxième temps, j'ai dû vérifier que mon emploi du temps et les heures de disponibilité de cette salle informatique coïncidaient.

Lors de cette recherche de salle, j'ai remarqué que le CDI de l'établissement était pourvu d'un réseau de cinq ordinateurs multimédia, en libre accès aux élèves, et susceptible d'être doté d'ordinateurs supplémentaires dans le courant de l'année.

Par la suite, j'ai recherché les logiciels de mathématiques dont l'établissement était en possession, tout en vérifiant le nombre de licences disponibles pour chacun d'eux. Les quelques logiciels que j'ai trouvés n'étaient pas sans intérêt, mais présentaient une interface utilisateur austère, aux possibilités assez limitées ou demandant un apprentissage spécifique de la part de l'utilisateur, et n'était pas toujours très commode d'emploi.

Lors d'une concertation avec l'ensemble des collègues de mathématiques, il fut envisagé l'achat d'un logiciel qui correspondrait davantage à mes attentes. Mais un tel achat doit être un investissement sur plusieurs années. Par conséquent, nous avons dû dresser un cahier des charges qui devrait répondre aux questions fondamentales suivantes :

- Qui l'utiliserait cette année ?

- Qui l'utiliserait les années suivantes ?

- Combien de temps chacun de nous serait-il prêt à consacrer à l'apprentissage de l'utilisation d'un tel logiciel ?

- Servirait-il pour un travail en commun ou de manière individuelle ?

- Quel type de travail serait-il demandé aux élèves ?

- Comment serait-il mis à leur disposition ?

- Evaluerions-nous les élèves sur cet outil ?

- Comment évaluerions-nous l'impact de ce nouvel outil dans notre enseignement ?

- etc.

• 1 le choix du logiciel :

  Il apparut clairement dès le départ de notre discussion que la durée d'apprentissage de l'utilisation de ce logiciel par les professeurs et les élèves devait être réduite au strict minimum ; certains collègues ayant eu des expériences malheureuses avec les balbutiements de l'informatique dans les établissements scolaires, où il s'agissait plus de s'y connaître dans les divers problèmes de configuration d'ordinateurs, voire de programmation, au prix d'un temps perdu démesuré par rapport aux informations mathématiques obtenues via ce nouvel outil. Je suggérais alors l'achat du logiciel SAMAO 2^nd des Editions Chrysis pour la simplicité de son interface et la qualité de son contenu, et il était en adéquation avec le matériel informatique disponible. De plus je possède une connaissance approfondie de son contenu et de ses possibilités, aussi bien du point de vue de l'exploitation possible par le professeur, ou par l'élève.

  En effet, ce type de logiciel, appelé encore didacticiel ou exerciseur, propose des exercices ou des activités avec des aides appropriées et des rappels de cours. Les élèves travaillent alors d'une manière autonome et individualisée. L'ordinateur vérifie les résultats et évalue le travail de l'élève. De plus, ce logiciel existe en version réseau, ce qui permet de récapituler l'ensemble des résultats obtenus par chacun des élèves du Lycée sur un même poste, pour une exploitation ultérieure par les enseignants.

  Conçu pour les élèves, il peut être utilisé :

  - de façon individuelle autonome,

  - en groupe, classe complète, module, travaux dirigés,

  - par le professeur, pour présenter ou illustrer un point du cours (par exemple à l'aide d'une tablette de rétroprojection ).

  On y retrouve les points forts de l'EIAO ( Enseignement Intelligemment Assisté par Ordinateur ), qui vient enrichir le cours du professeur :

  - animation de figures et de graphiques,

  - simulation de situations variées,

  - génération aléatoire de données,

  - rythme personnalisé et auto-évaluation.

  Il articule savoir-faire et méthodes avec les contenus du programme officiel : lire un énoncé (texte, formule, notation), un graphique (repère, diagramme), un tableau (signe, statistique, proportionnalité,...), une figure(vecteurs, transformations,...), conjecturer, reconnaître, analyser et interpréter un cadre numérique ou géométrique, mais aussi calculer et résoudre algébriquement ou vectoriellement, construire et transformer une figure, un tableau, etc.

  Dans chaque chapitre du logiciel, les objectifs spécifiques sont clairement précisés. Des activités d'apprentissage permettent de se familiariser avec les notions traitées. Des aides facilitent l'utilisation autonome du logiciel. Les rappels de contenus, souvent présentés sous forme d'animations, sont accessibles, soit directement, soit à partir des activités d'apprentissages. Des tests permettent une auto-évaluation immédiate. Contrairement aux apprentissages, ils ne comportent aucune indication. Souvent générés de façon aléatoire, ils peuvent être répétés en gardant leur pertinence. Les résultats de chaque élève aux tests peuvent être mémorisés, pour permettre à l'élève et à son professeur de se situer par rapport aux objectifs à atteindre, et donc de mesurer ses progrès.

  Les capacités de ce logiciel répondaient de manière consensuelle aux objectifs de chacun.

• 2. l'accessibilité aux élèves :

  Le logiciel a été acheté en version réseau avec licence sur site, ce qui signifie qu'il est possible de l'utiliser à la fois sur le réseau du CDI en disposant de toutes ses fonctionnalités, mais aussi sur l'intégralité des ordinateurs de l'établissement. Ainsi, les élèves peuvent l'utiliser aussi bien au CDI, que dans les salles informatiques auxquelles ils peuvent avoir accès, mais aussi à l'internat où quelques ordinateurs sont à disposition des élèves.

  Il est à noter que seul le réseau du CDI permet une évaluation mémorisée exploitable par les élèves et les professeurs.

• 3. l'installation sur les ordinateurs :

  Même si ce logiciel est prévu pour s'installer rapidement et simplement sur un grand nombre de types d'ordinateurs, il n'en reste pas moins que l'installation requiert encore, pour certains modèles, quelques compétences en informatique spécifiques, notamment pour l'installation sur un réseau dit à systèmes d'exploitations hétérogènes. De plus, autant de machines dans le parc informatique, autant de temps à passer à insérer la ou les disquettes permettant l'installation sur le disque dur ( de façon définitive certes ! ).

  Enfin, sur la version réseau au CDI, il y a eu la phase de saisie de la liste des élèves de Seconde par classe avec attribution d'un code personnel, pour pouvoir utiliser la partie d'exploitation des tests mémorisés du logiciel.
  

L'emploi de ce logiciel avec les élèves a bien évidemment pour buts, essentiellement, de les aider à comprendre les notions mathématiques qu'ils vont aborder, à acquérir des méthodes de résolution, à approfondir leurs connaissances, à remédier à leurs erreurs, etc. Il a donc été nécessaire de concevoir des séquences sur ordinateur ciblées en fonction des objectifs que je me fixais.

De part le nombre d'ordinateurs disponibles dans la salle, l'emploi en classe entière avec les élèves m'apparut immédiatement impossible. En effet, il me semble déraisonnable d'envisager plus de deux élèves par machine. Le seul emploi envisageable de l'informatique devant mes 36 élèves étant la manipulation de l'ordinateur du professeur couplé à la tablette de rétroprojection. Par conséquent j'ai envisagé le 'passage sur machine' des élèves pendant des séances de groupe ou de module.

• 1. les différentes voies d'applications :

  La conception même du logiciel m'a autorisé son emploi sous différents types de séquences d'enseignement. En effet, suivant le niveau où l'on prend le logiciel, il est possible de concevoir des activités de découverte d'une nouvelle notion, des activités d'approfondissement ou d'entraînement, des séances d'évaluation et des activités de remédiation. Il est à noter malgré tout que certains chapitres de ce logiciel se prêtent plus à certaines activités que d'autres.

  D'entrée de jeu, j'ai décidé de réserver les activités d'évaluation, appelées test dans le logiciel, pour des séances en autonomie en dehors des heures de mathématiques. Ce choix se justifie tout d'abord par le fait que l'exploitation des résultats par le professeur doit être faite impérativement sur un poste qui rassemble l'intégralité des résultats aux tests des élèves, ce qui impose donc d'utiliser le réseau du CDI. De plus, dans le type de synthèse fourni par le logiciel à la suite de ces tests, il est nécessaire que le travail ait été réalisé individuellement, ce qui implique un nombre d'ordinateurs supérieur à celui dont je dispose dans ma salle. Un avantage que je voyais à cette situation, c'était la possibilité laissée à chaque élève de s'évaluer lorsqu'il se sentait prêt, contrairement aux évaluations 'classiques' sur feuille, où la date du devoir est fixée de manière autoritaire par le professeur. En effet, chaque élève étant différent, ses mécanismes d'apprentissages sont différents, et par conséquent le temps nécessaire à la compréhension est différent. La suite me montra d'ailleurs que les élèves sont beaucoup plus détendus pendant l'évaluation lorsqu'ils ont choisi eux-mêmes ce moment.

• 2. les chapitres abordés avec l'ordinateur :

  • une activité de découverte :
    Je désirais réaliser la première séance sur informatique au moment où l'on aborderait une nouvelle notion qui ne présenterait pas de difficulté mathématique particulière ; et où, dans le même temps, l'élève serait amené à 'manipuler' sous une forme ludique, afin de favoriser le premier contact avec la machine. C'est à l'occasion du chapitre concernant les intervalles que j'ai décidé d'établir ce premier contact.

    Mon objectif était de leur donner une représentation simple mais juste des intervalles, à savoir : (Terracher 2^nd) " les intervalles correspondent aux parties 'sans trou' de la droite numérique " ; tout en la liant aux inégalités, notion qu'ils connaissent depuis le collège.

    Le logiciel permet de faire le lien entre encadrements et intervalles en utilisant la droite graduée. Pour cela, trois apprentissages du logiciel permettent de :

    - passer d'une inégalité à l'appartenance à un intervalle,

    - passer de l'appartenance à un intervalle à la représentation sur la droite graduée,

    - passer de la représentation sur la droite graduée à une inégalité ou l'appartenance à un intervalle.

    Un test reprend alors ces divers résultats.

    Les élèves sont amenés dans un premier temps à modifier les valeurs des bornes d'un intervalle en observant au fur et à mesure les effets de leurs actions. Au cours des apprentissages suivants, ils doivent déplacer, allonger ou raccourcir, sur la droite graduée un segment (ou une demi-droite selon le cas) coloré, et à modifier ses extrémités (intervalle fermé, ouvert, semi-ouvert) ; mais ils doivent aussi écrire les encadrements correspondants.

    Sont également abordés dans les apprentissages ultérieurs du logiciel, et suivant la même démarche, les notions d'intersection et de réunion de deux intervalles. Enfin un apprentissage illustre l'utilisation de l'intersection d'intervalles pour la résolution d'un système d'inéquations.

    L'avantage de l'ordinateur par rapport à une présentation 'traditionnelle' en classe réside dans le fait que c'est l'élève lui-même qui construit à son rythme une représentation de ce qu'est un intervalle. C'est lui l'acteur des événements qui se déroule sous ses yeux ; ce n'est plus le professeur que l'on regarde et que l'on écoute, avec éventuellement la passivité que cela peut engendrer.

    Lors de cette activité, les élèves sont face à une situation problème, c'est-à-dire qu'ils sont confrontés à une tâche pour laquelle ils ne disposent pas actuellement de tous les moyens adéquats. Comme ils ont à leur disposition un questionnaire qui leur servira de support pour un compte-rendu à me remettre à la fin de la séance, ils sont mis en situation de production écrite où ils doivent donner les réponses qu'ils ont construites.

    Le premier type de situation vise à l'invention, tandis que le second vise plutôt à l'appropriation. La tâche sera le seul point de repère de l'élève dans la situation problème, puisque celui-ci ne connaît pas ce qu'on l'invite à découvrir, l'objectif d'apprentissage ne peut lui être d'aucune utilité. La description de la tâche lui permet de se mobiliser, et de se représenter vers quoi il tend. C'est pourquoi la fiche de consignes a une importance fondamentale pour lui ; et c'est pourquoi il convient de porter une attention particulière à la conception de cette fiche. Elle doit être adaptée, dans le cas présent, à ce que le logiciel peut proposer et en aucun cas anticiper sur d'autres résultats, sous peine de désorienter les élèves et de les mettre en situation de blocage face à la machine.
    

    La séance ne s'est bien sûr pas déroulée exactement comme je l'espérais. En effet, j'avais dans un cours précédent demandé aux élèves s'ils avaient l'habitude de manipuler un ordinateur. Leur réponse affirmative, justifiée par l'option informatique à laquelle ils appartenaient tous, m'avait laissé dans un état d'esprit optimiste quant à la manipulation du logiciel dès cette première séance. L'enseignant de cette option informatique me conforta dans cette idée quand il m'indiqua qu'ils utilisaient des logiciels de dessin, tout en me précisant qu'ils n'étaient quand même pas des professionnels de la manipulation de la souris.

    Tout d'abord, les élèves sont arrivés dans une ambiance d'excitation due à une curiosité bien naturelle. Après avoir distribué la feuille de TP contenant les questions, et expliqué mes attentes à propos de leur compte-rendu, puis mes explications sur la manière d'obtenir le logiciel à l'écran, la séance débuta.

    Il s'avérait alors que des élèves manipulaient la souris avec lenteur tandis que d'autres semblaient être des virtuoses. L'enthousiasme était tel que certains en oubliaient de lire et répondre aux questions. Un appareil est même tombé en panne.

    Au cours de la séance, une volonté fervente de vouloir " vaincre " la machine se dégageait. Malgré quelques difficultés techniques mineures de manipulations (déplacer et orienter les bornes des intervalles par exemple) très vite résolues après quelques explications supplémentaires, aucun élève ne s'est découragé. Néanmoins, mon questionnaire s'est révélé trop long par rapport à la durée de la séance (1h30). J'ai donc mis à contribution une séance de groupe (1h00) pour pouvoir terminer ce TP.

    La teneur des comptes-rendus des élèves est restée très proche des exemples donnés par l'ordinateur. La prise de recul sur ce qu'ils avaient observé ne s'est pas concrétisée dans leurs écrits. J'ai donc recommencé quelques parties du TP devant eux, avec la tablette de rétroprojection, en jouant le rôle de l'élève ; ceci afin de mieux leur faire saisir le sens de mes attentes pour les comptes-rendus ultérieurs.

  • Une activité de prolongement du cours:
    

    C'est au cours du chapitre sur les vecteurs que j'ai décidé d'organiser une seconde séance sur les ordinateurs. Ce domaine des mathématiques n'est pas inconnu des élèves ; ils en ont eu un premier aperçu au Collège. Après avoir traité en cours les égalités de vecteurs et les additions de vecteurs, j'avais pour objectif de leur faire travailler la multiplication d'un vecteur par un réel, et d'aboutir à la notion de colinéarité de deux vecteurs. Le logiciel traitant aussi de l'égalité et de la somme de vecteurs, j'ai décidé de leur signaler l'existence de ces chapitres sur ordinateur, en les invitant à les traiter seul pendant leurs heures d'études. J'avais dans l'idée d'essayer de mesurer l'intérêt qu'ils portaient à ce logiciel.

    Dans une première partie, le logiciel donne un vecteur $AB$ de référence et un point fixé O. L'ordinateur représente alors le vecteur $OM$ de sorte que : $OM=kAB$, où k est un réel. Les élèves peuvent alors agir soit sur la valeur de k et visualiser la représentation de $OM$ correspondante, soit sur la position de M et obtenir la valeur de k correspondante. Dans la suite, le logiciel propose des exercices d'applications, comme par exemple la représentation de $AB=ku$ où k et $u$ sont donnés, A et B étant à placer sur un quadrillage par les élèves. Un apprentissage du logiciel permet même de travailler sur la représentation de vecteurs du type $au+bv$.

    Dans une nouvelle partie, est alors abordée la notion de vecteurs colinéaires. Dans un premier temps, la définition est donnée avec une animation graphique pour support ; puis, toujours à l'aide d'animations, les effets sur l'alignement de points et le parallélisme de droites sont abordés. Les exercices proposés par l'ordinateur sont présentés à l'aide d'un jeu basé sur la reconnaissance de vecteurs colinéaires, mais aussi dans une configuration de Thalès où il faut déterminer le coefficient de colinéarité.

    Enfin, une dernière partie propose une auto-évaluation sur ces notions.

    L'ordinateur a pris toute son importance au moment des nombreuses animations qui ont illustré ces notions, mais aussi par la représentation dynamique des vecteurs en fonction des nouvelles données imposées par l'utilisateur. Ceci a permis à ce dernier toute liberté de visualiser immédiatement l'ensemble des cas qu'il envisageait. En classe, il est clair qu'on ne peut donner qu'un nombre limité de cas particuliers, car on passe davantage de temps à schématiser au tableau. Là encore, l'élève est acteur dans la construction de son savoir, et l'ordinateur respecte son rythme d'apprentissage. Les différentes animations en couleurs ont capté son attention. Les différents exercices abordés, de par leurs contenus (configurations clés, exemples fondamentaux) permettent leur réinvestissement dans les situations qui seront vues ultérieurement. Ce transfert entre exemples vus en informatique et connaissances mises en jeu en cours ou en travaux dirigés s'est parfaitement opéré. Les élèves ont, pour la plupart, associé des représentations graphiques ou des animations à des situations types, comme par exemple faire ressortir des trapèzes d'une configuration pour obtenir des vecteurs colinéaires, ou des parallélogrammes pour trouver un vecteur somme, une égalité de vecteurs.

    J'avais prévu une séance de module (1h30) pour ce TP. De peur que la séance ne soit un peu trop courte (le chapitre intervalle étant présent à mon esprit !), j'ai décidé de rendre optionnel le jeu sur les vecteurs. J'avais dans l'idée que la perspective d'un jeu les stimulerait pour aller en autonomie réaliser cette partie du logiciel. En fait, quatre semaines environ séparaient cette séance de la précédente, et les élèves en difficulté sur la manipulation du logiciel avaient fait d'énormes progrès. La séance s'est donc déroulée dans le temps imparti (y compris avec le jeu) pour la majorité des groupes. J'ai préféré néanmoins leur laisser jusqu'au cours suivant pour me remettre leur compte-rendu afin qu'ils aient le temps de le rédiger suivant mes attentes, c'est-à-dire avec une prise de recul par rapport à leurs observations. Ceci permettait aussi aux trois ou quatre groupes qui n'avaient pas eu le temps de terminer, de pouvoir le faire en autonomie et me remettre leur travail en même temps que les autres.

    J'ai retrouvé une ambiance similaire à la première séance, mais avec une ferveur mieux maîtrisée. Aucun réel problème technique ne s'est présenté. Les seules questions qui m'ont été posées, concernaient des explications supplémentaires à celles données par l'ordinateur, et " c'est ça comme type de réponse que vous voulez ? ".

    Les comptes-rendus étaient cette fois-ci de bien meilleure qualité, même s'ils me paraissaient encore perfectibles. La proposition de Meirieux : " il ne suffit pas que l'enseignant enseigne pour que l'élève apprenne " (vue en Philosophie en formation générale à l'IUFM) se trouvait vérifiée ; ce n'est pas parce que je pensais avoir suffisamment expliqué avec ma tablette de rétroprojection lors de la séance sur les intervalles, que les élèves s'étaient appropriés le type de rédaction que j'attendais. A la réflexion, peut-être que mes questions étaient trop ouvertes ? Une nouvelle fois, j'ai refait une partie de la correction du TP avec la tablette de rétroprojection.

  • Une activité d'approfondissement et de découverte :

    Les statistiques ont été le sujet de l'intervention suivante de l'informatique dans l'enseignement des mathématiques. Les statistiques se situent à la charnière du collège et du lycée : en Troisième ont été vues les notions de fréquence et de moyenne, ainsi que diverses représentations graphiques. En Seconde, les nouveautés sont principalement la médiane, l'écart type, un complément sur les représentations graphiques, ainsi que le contrôle et l'analyse critique de ces résultats.

    Mon objectif ici était double : l'emploi de l'ordinateur et l'emploi de la calculatrice.

    Je me suis servi de l'ordinateur pour les familiariser avec les différentes notions de statistiques. Ces notions ( telles la moyenne, l'écart type, ou les différentes représentations en diagramme de données ) sont parfaitement illustrées par l'ordinateur, mais les calculs nécessaires à la résolution des exercices proposés sont malcommodes avec la calculatrice classique offerte par le programme.

    Aujourd'hui la quasi-totalité des élèves disposent d'une machine à calculer. Pour leur part, les élèves de ma classe se sont majoritairement équipés d'une même calculatrice graphique (lors d'un achat établissement en début d'année) capable de calculs statistiques sophistiqués. J'ai décidé de leur montrer, au cours d'une séance de module, comment exploiter au mieux les possibilités de leur outil.

    En ce qui concerne le logiciel, l'aide présente une statistique portant sur une simulation de lancers de deux dés. L'élève choisit le nombre de lancers et l'ordinateur fournit la répartition de ces lancers selon la valeur totale obtenue en sommant les valeurs des faces. Il affiche également les fréquences, la moyenne et l'écart type, et dessine le diagramme en bâtons. L'élève dispose ainsi d'une variété quasi-infinie de séries statistiques. La simulation des lancers, en visualisant la construction du tableau et du diagramme, rappelle que la première phase d'une série statistique est la collecte des données. J'ai même inclus dans mon questionnaire de T.P. une question débouchant sur les probabilités : " Que pouvez-vous dire sur la fréquence d'obtention du nombre 7, du nombre 2, du nombre 12, lors de chacun de ces essais ? Pouvez-vous expliquer ce phénomène ? ".

    Les apprentissages proposés par le logiciel sur des exemples de la vie courante (étude sur des salaires, la taille d'enfants, les dimensions d'un logement, le régime des élèves dans un établissement scolaire, etc.), visent à la maîtrise de la notion de fréquence et des représentations graphiques (cas qualitatif, quantitatif discret, quantitatif continu), mais aussi du calcul de la moyenne, de la médiane et de l'écart type. Enfin des tests reprennent l'ensemble de ces notions.

    Dans un premier temps, la simulation immédiate de ces expériences conjuguée à l'instantanéité de l'organisation des données, de la représentation graphique et du calcul des valeurs statistiques ont permis aux élèves de se focaliser sur l'observation et l'interprétation de ces expériences. Leur analyse parfois divergente à l'intérieur d'un même groupe a favorisé les échanges et la nécessité de justifier les diverses interprétations pour enfin arriver à un consensus. La curiosité de chacun, piquée par ma question sur les chances d'obtenir plus facilement 7 que 12 avec deux dés, fut vite remplacée par l'enthousiasme de cette nouvelle découverte : " A la récréation on ira jouer aux dés avec les autres Secondes ! ".

    Dans un second temps, suivant les exemples, les élèves ont dû compléter des tableaux, choisir des représentations graphiques adaptées à la situation statistique proposée et faire différents calculs de moyenne, écart type, médiane.

    Le troisième temps fut, comme d'habitude, consacré à une auto-évaluation au CDI en autonomie.

    Cette séance s'est déroulée sur une heure. La partie concernant le calcul d'écart type était à réaliser en autonomie au CDI, après avoir abordé cette nouvelle notion en classe. Les questions proposées par l'ordinateur me semblant un peu difficiles au premier abord, et puis je désirais m'assurer de la justesse de leurs formules au préalable.

    Les comptes-rendus que j'ai récupérés à l'issue de cette séance répondaient ( enfin ! ) dans leur grande majorité à mes attentes. Mis à part un ou deux groupes, la prise de recul par rapport aux observations étaient relativement satisfaisante, même si ...

    Le module suivant fut consacré à l'emploi des fonctions statistiques des calculatrices.

    Bernard Mounis, mon directeur de mémoire, a mis au point une activité conjuguant une notice des fonctions statistiques pour différentes calculatrices, avec des exercices de statistique où l'élève est amené à découvrir et employer les différentes possibilités de sa propre machine.

    Après m'être renseigné sur le matériel de mes élèves, j'ai calqué cette activité pour deux nouveaux modèles. Les élèves ont été regroupés par type de calculatrice lors du module afin de faciliter une appropriation plus rapide du matériel. Néanmoins, les différentes configurations possibles d'une même machine ont posé bon nombre de problèmes : " Monsieur, j'ai fait comme lui et on a la même machine mais ça ne marche pas ! ". Pour certaines, que je connaissais assez bien, le problème fut vite réglé, mais pour d'autres, dont je ne soupçonnais même pas l'existence, il en fut tout autrement, ne disposant généralement pas du manuel (l'élève l'ayant souvent égaré). L'heure et demie fut bien occupée et la notion d'écart type, malgré tout, abordée. L'activité sur ordinateur (à faire en autonomie) a permis à la suite de ce module de fixer les idées. J'ai pu enchaîner sur les travaux dirigés concernant l'ensemble des notions statistiques.

  • Une activité "d'approfondissement - synthèse" :

    Dans notre progression, nous devions aborder la résolution de systèmes linéaires juste après le chapitre de géométrie analytique concernant les équations de droites. Le logiciel m'offrait alors la possibilité de travailler sur les équations de droites de manière analogue aux activités précédemment exposées ; et sous forme d'élaboration d'une synthèse sur le chapitre concernant les systèmes. C'est cette dernière que j'ai choisi de traiter en T.P. , et j'ai très fortement conseillé de faire l'autre en autonomie.

    Les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues ne constituent pas une nouvelle notion pour les élèves. Ils l'ont déjà rencontrée au Collège ; elle est reprise et développée en Seconde.

    Le chapitre "Systèmes d'équations" du logiciel comporte deux parties : l'une met l'accent sur les méthodes de résolution (substitution et combinaisons linéaires), l'autre souligne les différentes phases de la mise en équations de problèmes conduisant à un système.

    Là encore, des tests évaluent ensuite l'ensemble des notions utilisées précédemment.

    Dans une première activité, le logiciel affiche simultanément un système de deux équations à deux inconnues, la représentation graphique des droites associées aux équations de ce système ainsi que le calcul du déterminant et le nombre de solutions du système. Une petite animation modifie l'une des équations du système avec les conséquences qui en découlent du point de vue graphique et numérique (calcul du déterminant et nombre de solutions). Cette présentation permet aux élèves de faire le lien entre système de deux équations à deux inconnues et l'interprétation graphique qui peut en être faite, mais aussi entre calcul du déterminant, nombre de solutions d'un système, ou encore nombre de solutions d'un système et interprétation graphique.

    La manière dont les méthodes de résolutions sont exposées par le logiciel, est voisine de ce qui pourrait être réalisé en classe ; l'avantage de l'ordinateur résidant principalement dans le rythme d'exposition des différentes étapes : c'est l'élève qui demande de passer à l'étape suivante lorsqu'il est sûr d'avoir compris, contrairement à ce qui arrive en classe où c'est le professeur qui, lorsqu'il le juge bon, décide de passer à l'étape suivante. Là encore l'élève avance à son propre rythme. De plus, s'il le désire, il peut revenir en arrière ou recommencer l'intégralité de l'exposé.

    A partir du cas de deux équations à deux inconnues, je les invite, via mon questionnaire, à réfléchir sur le cas de systèmes de taille supérieure. Bon nombre d'entre eux m'ont d'ailleurs proposé des méthodes alliant combinaisons linéaires et substitution, mais aucun ne m'a véritablement donné la méthode de triangulation de Gauss, même si certains s'en sont approchés.

    La seconde partie de ce T.P. a permis de renouer avec les problèmes de mise en équation rencontrés en début d'année. Les élèves sont guidés dans le choix des inconnues, dans la résolution et dans l'interprétation des résultats. Une représentation graphique ou une animation illustre en permanence le problème proposé. Ils ne sont jamais restés " bloqués " face à un problème ; l'ordinateur assurant parfaitement son rôle d'aide et de conseiller : je n'ai pas eu à intervenir sur demande d'un élève, mon rôle s'étant limité à quelques questionnements lors de mes "visites" des différents groupes.

    A la suite de ce T.P. (1h00), j'ai réalisé en classe entière une synthèse basée principalement sur l'exceptionnelle qualité de leurs comptes-rendus. J'ai même dégagé un organigramme de résolution d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues à partir des réponses très précises apportées par quelques groupes.

    Les tests évaluant les différents savoir-faire ont été réalisés en autonomie au CDI avec un franc succès.

  • Une activité de "découverte - synthèse":

    Lors du chapitre Fonctions, j'ai décidé d'employer à nouveau l'informatique. Ce chapitre capital du programme de Seconde est largement traité dans le logiciel. Celui-ci le sépare en deux grandes parties : l'une traitant des généralités sur les fonctions, l'autre sur les fonctions usuelles. Au moment de la rédaction de ce mémoire, seul le chapitre concernant les généralités sur les fonctions a été abordé.

    Mon objectif ici était de faire élaborer une première appropriation sur les fonctions par les élèves, à la manière de celle réalisée pour le chapitre Systèmes, mais sur un sujet concernant une nouvelle notion.

    Tout d'abord, j'ai abordé en groupe une activité "classique" (i.e. sans informatique). Les élèves étaient amenés à élaborer des expressions algébriques " en fonction de... " au travers d'exercices mettant en jeu des calculs de volumes, d'intensités de courant, de vitesses, etc. Puis ils devaient élaborer des tableaux de valeurs et tracer des courbes à partir de ces tableaux.

    A partir de ce moment-là, l'informatique est entrée en jeu.

    A l'aide d'un logiciel dit "grapheur", je leur ai fait vérifier la validité de leur représentation graphique en la leur faisant comparer à celle affichée par l'ordinateur. Pour ceux disposant d'une calculatrice graphique, ce fut l'occasion d'une nouvelle manipulation (après celle engendrée par les statistiques).

    Les élèves étant alors un peu familiarisés avec les fonctions, j'ai organisé une séance de T.P. dont le but était de découvrir de nouvelles notions et propriétés (image, antécédent , variations, parité, périodicité, etc.).

    Le logiciel découpe ce chapitre en quatre parties :

    - Définition d'une fonction : La première approche est uniquement graphique. Sont abordées la notion d'image, d'intervalle d'étude, et la distinction entre courbe et courbe représentative d'une fonction. Des animations mettent en valeur les points essentiels à observer. Un exercice d'application directe entraîne les élèves à repérer des courbes représentatives de fonctions (plusieurs courbes sont représentées et l'élève doit cocher celles qui sont des courbes représentatives de fonctions). Cet exercice propose ainsi une très grande variété d'exemples qui permettent aux élèves de faire le point.

    Ensuite, il est demandé à l'élève de repérer des fonctions à partir de relations algébriques et d'effectuer un certain nombre de calculs pour confirmer ou infirmer sa réponse. Chaque exercice se termine par une représentation graphique qui permet de faire le lien avec la première approche. Pour terminer, l'élève retrouve deux fonctions classiques du programme de sciences physiques ( en électricité : U=RI et W=RI²T), mais aussi en mathématiques (formules d'aires, de périmètres, etc..), ou encore des situations de la vie courante ( " à chaque pays on fait correspondre le nom de son président ", etc.).

    - Images et antécédents : L'élève doit indiquer graphiquement des images et des antécédents. Puis il est amené à en calculer, mais toujours avec le support de la représentation graphique qui lui permet de contrôler la pertinence de ses résultats.

    - Etudes des variations : Il est demandé de préciser les variations d'une fonction donnée graphiquement ou de proposer une représentation graphique à partir d'un tableau de variation.

    - Parité et périodicité : Les fonctions paires, impaires et périodiques sont d'abord traitées séparément. L'élève doit savoir reconnaître la représentation de telles fonctions. Il doit ensuite compléter des représentations graphiques et des tableaux de variations de fonctions possédant une de ces propriétés. Pour terminer, des exercices mettent en jeu à la fois la parité et la périodicité.

    Devant la richesse des activités et des contenus offerts par le logiciel, j'ai décidé de découper en deux le passage sur ordinateur. La première séance consisterait en l'étude jusqu'à la parité incluse (1h30) , la seconde (1h00) se consacrant à la périodicité juste avant le chapitre sur les fonctions trigonométriques. Ce découpage se justifie à mes yeux par la quantité importante de notions nouvelles qui seront déjà vues dans la première partie, et le fait que la seconde servira de charnière pour introduire les fonctions trigonométriques.

    A partir des comptes-rendus de la première séance, nous avons rédigé une synthèse en classe entière. Les élèves se sont montrés très motivés lors de la rédaction de cette synthèse. La prise de parole a été facilitée pour certains car ils lisaient ce qu'ils avaient rédigé ; le risque de dire une bêtise étant alors relativement limité puisque l'aval du professeur était donné dans la marge du compte-rendu ! Le compte-rendu apporte ici aux élèves un sentiment de sécurité lors de la prise de parole.

    Le bilan de cette séance m'apparaît comme très positif. En effet, la qualité du travail et leur concentration ont été satisfaisantes. La longueur du compte-rendu pendant la séance sur informatique ne leur a pas laissé trop de " loisirs annexes ", et leur vigilance aux propos de leurs camarades pendant la synthèse a évité une dispersion de l'attention.

    La seconde séance n'a pas encore eu lieu au moment de la rédaction de ce mémoire.

• 3. L'impact sur les élèves :

  De par le manque de recul dont je dispose par rapport ces expériences, je me garderai bien d'affirmer que l'utilisation que j'ai faite de l'informatique a permis aux élèves de mieux comprendre les notions abordées.

  Néanmoins, j'ai pu relever quelques signes qui me confortent dans la pertinence de son emploi.

  Par exemple, le T.P. concernant les intervalles et celui concernant les fonctions, ont permis une sensibilisation plus vivante à ces nouvelles notions. La manipulation a préparé au développement de critères généraux. L'exposition conjointe de rappels de cours et d'exercices d'applications permet aux élèves d'effectuer un va-et-vient permanent entre l'action qu'ils effectuent et l'origine de l'action.

  Le TP sur les systèmes a permis pour sa part de favoriser le dialogue, l'expression et la stratégie. La manipulation de systèmes avait déjà eu lieu en classe de Troisième. Les élèves étaient alors en position d'explicitation de savoir-faire et de dégagement de critères généraux, puis ils étaient mis en phase de vérification.

  Les statistiques ont été là aussi le lieu d'échanges lors d'interprétations de données. Leur sens critique, leurs capacités d'observation d'analyse et d'argumentation ont été fortement sollicités lors des situations mettant en jeu des données numériques ou des représentations graphiques.

  L'utilisation de l'ordinateur, lors du chapitre sur les vecteurs, a permis de fixer des représentations mentales de situations clés par le jeu d'animations marquantes favorisant la mémorisation pour l'élève. Le questionnement et la conjecture ont été une constante de ce TP.
  

  L'ordinateur s'est donc révélé être un outil puissant pour la conjecture et qui motive les élèves pour la généralisation. L'adjonction d'un compte-rendu à rédiger lors de ces séances, a développé les capacités de dialogue, d'argumentation, de mise au point d'un raisonnement et celles d'expression écrite.

  A la suite de tels TP, une séance de régulation s'impose pour organiser un questionnement permettant de recadrer et structurer davantage les différentes notions abordées.

  Un effet secondaire de ce travail en groupe restreint d'abord puis en classe entière, a été de donner une impulsion à certains élèves, habituellement inhibés, pour exprimer l'originalité de leurs idées. En effet, au lieu d'être constamment soumis aux idées des autres, ils ont pu explorer suivant leur jugement propre et ainsi dédramatiser l'évocation de leur point de vue face à un groupe.
  

• 1. Les différentes activités à réaliser sur demande du professeur :

  La facilité d'emploi du logiciel en autonomie m'a permis de demander aux élèves d'aller seuls sur le réseau du CDI réaliser certaines parties du logiciel.

  Systématiquement, je leur demandais d'effectuer les tests correspondant aux chapitres que l'on abordait. Je leur indiquais, en fonction de l'avancement du cours, les différents tests à effectuer, en leur imposant une date butoir. En règle générale, ils ont disposé de 2 semaines environ. Cette obligation permettait ainsi d'alimenter les feuilles récapitulatives des savoir et savoir-faire des élèves. Ainsi, l'élève dispose de ces informations pour essayer de palier à ses difficultés ; et l'enseignant peut, en fonction de l'ensemble des résultats de ses élèves, adapter son enseignement. Ceci m'a permis, par exemple, de repérer qu'une majorité d'élèves de ma classe avaient un déficit dans la compréhension d'énoncés. J'ai donc pu, par exemple, à l'occasion du chapitre sur les équations, organiser un module sur la mise en équation de problèmes. De plus, lors des devoirs à la maison, j'ai régulièrement redonné un exercice spécifique permettant de retravailler ce savoir-faire. De la même manière, un travail plus spécifique sur l'extraction de configurations élémentaires (par exemple quadrilatères particuliers) dans des figures plus complexes a été réalisé à partir des résultats obtenus par les élèves lors de ces tests.

  Ils ont eu aussi obligation de se servir des ordinateurs en libre service pour terminer leur compte-rendu quand cela n'avait pas été possible en classe (par exemple pour les absents ou les retardataires).

  La participation des élèves dans cette situation a bien sûr été totale. Néanmoins, deux ou trois élèves ont émis quelques objections quant au fait d'effectuer ce travail sur leur temps libre : " on n'a pas beaucoup d'heures d'étude, et on n'a pas que les maths à travailler ! ".

• 2. Les différentes activités laissées à l'initiative des élèves :

  Certaines des activités proposées par le logiciel n'ont pas été utilisées pendant l'horaire de mathématiques, mais j'ai incité les élèves à les réaliser pendant leur temps libre.

  Pour certaines de ces activités (par exemple : développement et factorisation, opérations sur les inégalités), nous ne disposions pas encore du logiciel. Je leur ai donc conseillé, au moment où nous l'avons eu, de s'en servir pour perfectionner leurs connaissances, et comme outil de révision (entraînement, auto-évaluation, etc.).

  Pour d'autres, comme par exemple : résolution des inéquations du type x²>a, l'animation graphique propose l'intersection de la courbe représentative de la fonction x donne x² et de la droite d'équation y=a. Or, nous n'avions pas encore abordé le chapitre concernant les fonctions. J'ai donc trouvé inopportun de vouloir me servir de ces activités au moment du chapitre résolution d'équations, mais je les ai conseillées au moment du chapitre fonction, pour leur donner une illustration de l'exploitation d'une représentation graphique.

  Pour d'autres encore, leur pertinence par rapport à une présentation plus traditionnelle ne m'étant pas apparue comme essentielle, je me suis contenté de leur conseiller comme entraînement supplémentaire possible.

  Là encore, la participation a été très bonne. Selon les chapitres, on peut estimer le taux de participation des élèves entre 75% et 85% (relevé à partir du cahier d'occupation des ordinateurs du CDI et des tests mémorisés réalisés). Mais il est à noter que seule une élève a réellement 'boycotté' l'intégralité des activités facultatives. Cette élève, en grande difficulté scolaire toutes matières confondues, n'est pas intéressée par la classe de Seconde, elle voudrait préparer un BEP. Les élèves qui n'ont pas participé lors d'un chapitre l'expliquent, en majorité, par leur aisance sur le chapitre considéré et ont alors estimé superflues ces activités supplémentaires. La seconde explication invoquée est le manque de temps, notamment lorsque le CDI a été fermé pour cause de stage de la documentaliste.

• 3. les différentes activités réalisées par les élèves de manière spontanée :

  Il m'est très fréquemment arrivé de trouver des élèves de différentes classes de Seconde sur les ordinateurs du CDI. Il est vrai que la nouveauté de ce type de logiciel dans un CDI a suscité beaucoup de curiosité (y compris chez quelques 1^èreS) en début d'année. Certains sont devenus des utilisateurs assidus, tandis que d'autres sont venus de manière plus épisodique. Un nombre non négligeable d'élèves (toutes classes de Seconde confondues) semblent n'avoir jamais fait de test de manière mémorisée (i.e. c'est-à-dire dont le logiciel garde une trace). Le taux de participation sur des activités non obligatoires était le plus élevé dans ma classe, ce qui peut s'expliquer par mon implication directe dans ce projet. J'en déduis donc qu'une forte participation des élèves à ce type d'expérience passe nécessairement par une volonté forte de la part de l'enseignant.

  De plus, lors des séances de soutien en mathématiques que j'organisais en salle informatique un jour par semaine, entre 12h30 et 13h30, régulièrement des élèves de ma classe sont venus utiliser le logiciel. Certains s'entraînaient sur le chapitre en cours, tandis que d'autres essayaient de remédier à leurs erreurs sur des chapitres déjà étudiés.

  J'ai aussi constaté que trois ou quatre de mes élèves avec quelques camarades d'autres classes, exploraient de temps en temps d'autres chapitres de cours via les activités du logiciel. Ces élèves m'ont expliqué qu'ils désiraient savoir ce qui pouvait se cacher derrière des mots tels que 'homothétie', 'fonction', etc., et ils trouvaient amusant de pouvoir " jouer " avec le module graphique de géométrie dans l'espace, ou au jeu de reconnaissance des vecteurs colinéaires. L'un d'eux m'a même demandé quand nous aborderions le chapitre Fonctions, parce qu'il avait remarqué qu'il y avait une activité-jeu.

  Doit-on assimiler cette curiosité à une réelle envie d'apprendre ? Je n'en suis pas certain, même si je veux y croire. Une chose est sûre, le logiciel a suscité de l'intérêt même pendant le temps libre des élèves.
  

En plus des comptes-rendus, il m'est apparu nécessaire de prévoir des questionnaires annexes pour essayer de mieux évaluer l'impact du logiciel sur les élèves.

J'ai tout d'abord envisagé un premier questionnaire, appelé questionnaire à la séance, destiné à faire une analyse 'à chaud', par l'élève, de ce qu'il a observé. Ce questionnaire oblige ainsi l'élève à faire ressortir les points forts de son apprentissage. Il est obligé ainsi de dégager ce qu'il a retenu, ce qui l'a aidé à comprendre, ce qui lui a posé problème, mais il est aussi incité à réfléchir sur l'utilisation possible de ce qu'il a rencontré au cours de ses manipulations.

Cette fiche à été mise en place dès la seconde séance, lors du chapitre sur les intervalles. Les renseignements que j'ai obtenus par ce moyen n'étaient pas tous très pertinents par rapport à mes objectifs. Les élèves n'ont pas tous bien perçu ce que j'attendais d'eux. Mauvais questionnaire , mauvaises explications sur mes attentes ? J'ai alors réajusté mes questions dans un nouveau questionnaire, ainsi que mes explications.

Dans le chapitre sur les vecteurs, les élèves ont alors eu une nouvelle fiche à la séance et je leur ai distribué simultanément une fiche récapitulative du thème abordé. Ce nouveau questionnaire était destiné à synthétiser les observations qu'ils avaient pu faire sur l'intégralité du chapitre vecteur et de les lier avec le cours. Afin d'éviter une situation analogue au premier questionnaire, j'ai fait ,pour certaines questions, une liste de propositions qu'ils devaient numéroter suivant l'importance qu'ils leur accordaient (tout en laissant une partie Autres ). Ils disposaient ainsi d'un support conducteur pour guider leurs remarques.

Ce couplage s'est révélé très intéressant. Je l'ai conservé pour l'ensemble des chapitres précédents, moyennant quelques adaptations en fonction des réponses que j'obtenais. Le second questionnaire a toujours évolué au fil de l'année, tandis que celui à la séance, me donnant satisfaction, est resté quasiment figé.

Il apparaît nécessaire de dresser un bilan de cette expérience.

En plus des enquêtes de fin de chapitre, j'ai procédé à une enquête globale sur ces séances en informatique. Je désirais avoir le sentiment des élèves sur ces activités mathématiques par l'informatique.

J'ai donc élaboré un questionnaire auquel ils devaient me répondre de manière anonyme ; cette condition m'assurant une objectivité plus grande des réponses. Ce questionnaire a été distribué à l'ensemble des élèves de ma classe, et mis à disposition des autres élèves de seconde.

Même si certains précisent qu'ils ont apprécié l'ensemble des TP, celui concernant les systèmes semble être leur préféré. Au contraire, mais de manière moins nette, les statistiques ou les fonctions suscitent moins leur enthousiasme. Certains l'expliquent : " les systèmes ont été pour moi plus faciles à comprendre car on l'avait déjà étudié en 3^ième ". Il est exact que ce côté de " déjà vu " était rassurant pour les élèves. Ceci expliquant peut-être cela, c'est aussi à cette occasion que leurs comptes-rendus avaient été les meilleurs.

Ils semblent partagés à propos de ce que leur apporte l'ordinateur. Tandis que certains l'apprécient comme une aide pour découvrir une nouvelle notion, approfondir leur connaissance ou encore s'intéresser davantage au chapitre, d'autres reconnaissent s'en être servis pour s'entraîner ou rectifier leurs erreurs. Ils estiment que les exercices proposés par l'ordinateur facilitent principalement la compréhension car l'ordinateur donne des explications en les illustrant, et qu'ils peuvent se concentrer sur le raisonnement sans avoir à rédiger la solution. Par contre, ils sont peu à indiquer en premier lieu qu'ils ont pu se servir des bilans d'évaluation pour repérer leurs difficultés. Peut-être est-ce dû au manque d'habitude de vouloir travailler des savoir-faire spécifiques. Ils sont pourtant 95% à affirmer que l'ordinateur les aide à mieux cerner leurs difficultés, tandis que 55% avouent ne pas s'être servis du bilan des tests. Je pense donc qu'ils sont convaincus de l'apport bénéfique de l'ordinateur, mais ils disent avoir des difficultés à exploiter le bilan des évaluations sur ordinateur.

Il ressort aussi que ce qui leur plaît avec l'ordinateur, c'est de pouvoir faire des exercices pour s'entraîner et de pouvoir avancer à leur rythme. J'ai remarqué que quelques-uns plaçaient au premier chef le fait que ce ne soit pas le professeur qui les corrige. Le premier des désagrément est, pour eux, l'absence du professeur pour donner des explications en libre service. Bon nombre m'ont répondu : " rien ne me déplaît avec l'ordinateur ".

Enfin, une écrasante majorité s'accorde à dire qu'ils sont plutôt d'accord ou tout à fait d'accord sur le fait que l'ordinateur les a aidés à comprendre, qu'ils seraient prêts à poursuivre et à renouveler l'expérience. Pour une majorité, l'ordinateur s'avère être un complément utile dans l'enseignement des mathématiques. Ils sont nombreux à penser que si l'ordinateur n'avait pas été utilisé pendant les cours, ils ne seraient pas allés l'utiliser seuls (ce qui se vérifie d'ailleurs avec la faiblesse relative de la participation des autres classes). L'unanimité est réalisée quand on leur demande s'ils pensent que l'ordinateur peut remplacer le professeur : ils ne sont pas du tout d'accord (ce qui est rassurant !).

Aux vues de ces résultats, j'en conclu qu'ils sont plutôt satisfait de cette expérience.

• 1. Comment s'est inscrite cette expérience dans mon enseignement ? :

  D'après Françoise Clerc ( Enseigner en modules , Hachette Education , Collection : Pédagogies pour demain), pour un bon apprentissage, il est nécessaire de réunir les trois conditions suivantes :

  - un milieu riche et stimulant,

  - d'autres jeunes avec qui dialoguer,

  - des adultes qui guident la recherche.

  C'est ce que j'ai essayé de réaliser au travers cette expérience.
  

  L'emploi de ce logiciel a créé ce milieu stimulant et riche. Les élèves, attirés au départ par la curiosité, se sont tout de suite intéressés à ce nouvel outil. L'envie de se mesurer à la machine, les sollicitations visuelles de l'ordinateur via les représentations graphiques et les animations, la liberté laissée aux élèves dans le rythme d'avancement de leur apprentissage, ont contribué à créer cet environnement dont parle Françoise Clerc. Les élèves ont ainsi pu explorer, essayer, tâtonner, réajuster et vérifier à loisir. Ces phases, que l'on pourrait qualifier d'approche expérimentale des mathématiques, permettent à l'élève d'aller au bout de leurs idées, de les conforter même dans leurs opinions, ou, au contraire, de les détromper.

  Ils ont pu aussi, grâce aux résultats des tests, repérer leurs points forts, et mieux cibler les points à retravailler. Un autre aspect, auquel je n'avais pas pensé initialement, a été rapidement mis en évidence : les erreurs d'écritures dans les formules mathématiques. L'ordinateur est une machine implacable sur ce point. Toute faute de frappe est immédiatement sanctionnée : oublis ou mauvais emplacement d'une parenthèse, erreur de signe, non respect des ordres des opérations, etc. Les élèves, déstabilisés dans un premier temps, ont été néanmoins contraints d'être plus vigilants sur leurs écritures. Ceci s'est d'ailleurs traduit progressivement par une diminution sensible de ce type d'erreurs dans leurs devoirs écrits. L'ordinateur en est-il le seul responsable ou leur attention a-t-elle été davantage sollicitée par mes annotations et mes remarques ? J'opterais pour une position intermédiaire : ces deux sources de sensibilisation à ces problèmes d'écritures ont sûrement contribué à une accélération de la prise de conscience par les élèves, l'ordinateur se faisant le relais du professeur.

  Un autre type de situation s'est présenté, (exemples : en statistiques, ou encore lors de l'interprétation graphique de systèmes de deux équations à deux inconnues, etc.), où, libérés de certains calculs fastidieux, les élèves sont arrivés directement à la phase d'interprétation des résultats. L'ordinateur permet ainsi à certains élèves arrêtés par les calculs, de continuer à apprendre. La situation est analogue dans le cas d'élèves ayant des problèmes lors de représentations graphiques ou géométriques. L'ordinateur libère ainsi l'élève d'un travail technique pour qu'il se concentre sur un travail plus réflexif, plus stratégique, plus conceptuel, et par voie de conséquence, favorise la compréhension, le sens, plus que l'acquisition de simples capacités d'exécution technique.
  

  Le fait de travailler par deux a favorisé les échanges entre les élèves. J'avais d'ailleurs mis en place ce travail d'échanges mutuels depuis le tout début de l'année scolaire, pendant les séances de travaux dirigés et de module. En effet, j'ai mis en place un système de recherche par groupes de trois, où les élèves doivent élaborer une présentation, devant les autres groupes, de leur solution. Leur présentation terminée, les autres leur posent des questions pour éclaircir les points qui leur paraissent obscurs. Suivant les cas, je laisse s'exprimer un, deux ou trois autres groupes dans les mêmes conditions. Enfin, on élabore ,tous ensemble, une réponse à partir de ce qui nous a été présenté. Disposant dans une des salles de classe d'un grand tableau, j'ai défini une variante de cette méthode, car en début d'année, les élèves avaient beaucoup d'appréhension à passer au tableau. Pour essayer de vaincre cette peur, j'ai envoyé simultanément au tableau un élève de chaque groupe rédiger la solution de son groupe. Ils étaient alors en général six au tableau. La phase d'analyse de chacune des solutions est alors réalisée sur un principe analogue au précédent. Stimulés par un semblant de compétition (que les élèves ont eux-mêmes créé) entre les groupes, ces méthodes m'ont permis de dédramatiser le passage au tableau pour bon nombre d'élèves.

  C'est dans ce même esprit que se sont organisés ces échanges entre élèves lors des séances ayant trait à l'ordinateur. Dans un premier temps, lors de la recherche sur machine à l'aide du questionnaire, on retrouve le travail de discussion à l'intérieur d'un même groupe. Puis, dans un deuxième temps, j'ai demandé à certains groupes que j'avais sélectionnés à partir de leur compte-rendu, d'exposer à la classe leur point de vue sur les réponses qu'ils avaient élaborées.

  J'ai trouvé à ces situations de dialogue un apport intéressant à un bon apprentissage. La diversité des points de vue, la contradiction et la nécessité de fournir des preuves permettent de développer chez les élèves des qualités d'argumentation et la nécessité de prendre en compte les objections des autres. La classe de mathématiques n'est pas seulement un lieu réservé aux contenus mathématiques, mais aussi un espace d'échanges d'idées, de prise de parole (avec tout ce que cela implique sur la clarté du discours), d'écoute et de respect de l'autre ; en d'autres termes, c'est aussi un lieu d'éducation à la citoyenneté.
  

  Le dernier des points proposés par Françoise Clerc, est réalisé par la présence de la fiche de TP d'une part, et par le rôle d'aide à la réflexion du professeur pendant la séance sur machine, mais aussi lors des discussions qui s'en suivent. Ce rôle de 'guide' de l'enseignant est primordial. Il permet d'inciter l'élève à la recherche et à expliciter les buts qu'il poursuit : " Que cherches-tu à faire ? " , " Es-tu sûr de n'avoir rien oublié ? " , " A quoi cela pourrait-il se raccrocher ? " , " Quelles généralités peux-tu en tirer ? ", etc. Il joue ainsi un rôle de catalyseur entre savoir et élève, entre savoir-faire et élève, mais aussi, il permet à ce dernier de l'aider à mieux organiser sa réflexion en le questionnant, en sollicitant sa curiosité, en l'aiguillant de manière non directive sur sa démarche et son organisation afin qu'il trouve lui-même la réponse à sa question. Ces moments privilégiés sont aussi l'occasion, pour l'enseignant, d'aider l'élève à analyser les raisons de sa réussite ou de son échec, c'est-à-dire à critiquer sa démarche.

  Tout ceci requiert ,de la part de l'enseignant, une écoute attentive des propos de l'élève. Etant déchargé par la machine d'un certain nombre de médiations, le professeur est plus disponible pour se consacrer à cette tâche d'écoute pour les élèves les plus en difficulté. De plus, j'ai pu constater que le rapport élève/professeur n'est plus le même que lors d'une séance habituelle en demi-classe. Je n'étais plus perçu comme la personne 'sanction', mais plutôt comme la personne ressource, susceptible d'apporter un peu d'aide face à une situation délicate.

• 2. La pertinence du logiciel :

  On peut se demander alors si notre choix de logiciel s'est avéré judicieux.

  Au regard de nos attentes, on peut affirmer sans hésitation que SAMAO a rempli, pour la plupart, les objectifs de notre cahier des charges initial.

  Tout d'abord la prise en main a été effectivement rapide, aussi bien du point de vue des professeurs que celui des élèves. Chacun a pu se mettre rapidement au travail.

  La juxtaposition d'animations et de définitions ou propriétés mathématiques a contribué par association à des représentations mentales de ces notions. Les différents exercices proposés ont permis aux élèves de s'entraîner sur des exercices types, mais aussi quelques exercices moins classiques. Les tableaux récapitulatifs des tests leur ont aussi permis de mieux repérer leurs points faibles. Le logiciel a pu jouer également le rôle de soutien en mathématique auquel certains d'entre nous tenaient.

  Néanmoins, nous avons regretté le caractère 'fermé' de ce type de logiciel. L'utilisateur étant " pris par la main " constamment, il n'a guère été possible de pousser plus en avant nos recherches, ce qu'un logiciel de calcul formel ou de constructions géométriques par exemple, permet aisément de réaliser. D'autres reproches peuvent être faits dans certaines parties : le manque d'originalité de certains exemples, le caractère trop répétitif de certains exercices, le manque d'explication dans certaines situations, et parfois une présentation très peu différente d'une présentation "classique" en classe.

• 3. Le point de vue des collègues :

  Lors de discussions avec mes collègues et au travers de deux questionnaires (un avant cette expérience, l'autre au moment de la rédaction de ce mémoire), j'ai voulu connaître l'opinion de ceux qui ont une plus grande pratique d'enseignement que la mienne.

  Les personnes interrogées sont l'ensemble des professeurs de mathématiques du Lycée, ainsi que la documentaliste, pour le regard totalement extérieur.

  Il ressort de leurs réponses que l'expérience leur a paru plus convaincante que ce qu'il pouvait en penser à priori. Globalement, ils pensaient que l'informatique serait sûrement un outil exploitable, mais d'une trop grande complexité à mettre en place (gestion du parc informatique, temps à y consacrer) au regard de l'apport que cet outil constituait.

  Aujourd'hui, aux vues de l'emploi que j'en ai fait, il semble que leur avis ait évolué vers une demande de formation à l'utilisation de cet outil pour l'année prochaine.

  Les points qui leur ont paru positifs sont le travail en autonomie, tout en regrettant que leurs élèves n'y aient pas accédé plus souvent, les possibilités de sensibilisation à de nouvelles notions et les possibilités d'auto-évaluation. L'aspect ludique pour les élèves semble avoir fait l'unanimité. La documentaliste souligne la concentration des élèves pendant leur séance en autonomie.

D'autres logiciels permettent de faire des mathématiques avec un ordinateur. Il m'apparaît donc comme nécessaire d'envisager d'autres utilisations de l'informatique au moyen d'autres programmes n'offrant pas le même type d'approche.

• 1. les grandes familles de logiciels :

  Le Ministère de l'Education Nationale propose de les classer en trois grands types :

  - les didacticiels (comme SAMAO) dont j'ai expliqué précédemment les caractéristiques

  - les imagiciels : Ce sont des illustrations par ordinateur, à base de graphique et facilement paramétrables par le professeur ou les élèves . On peut, en effet, agir sur la construction des images, en choisissant les paramètres qui les définissent. Leur visualisation instantanée suscite alors la curiosité des élèves, leur donne la possibilité d'émettre des conjectures, de découvrir des propriétés ou de les vérifier. L'ordinateur permettant de faire de nombreuses manipulations, l'enseignant peut donc examiner avec sa classe diverses situations, présenter une nouvelle notion, renforcer l'assimilation du cours, vérifier la compréhension des élèves ou illustrer une propriété.

  Ces logiciels sont donc plutôt destinés à une utilisation collective. Un micro-ordinateur est installé dans la salle de classe avec un dispositif de visualisation collective et le professeur peut alors illustrer une séquence d'enseignement de façon dynamique et interactive.

  - les logiciels outils : On peut distinguer cinq catégories : les logiciels de CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES, les TABLEURS, les GRAPHEURS, les TRACEURS DE COURBES, les LOGICIELS DE CALCUL FORMEL.

  Je ne peux ici faire une liste exhaustive des avantages et inconvénients de chacune de ces catégories. Je me contenterai donc d'un rapide coup d'œil sur certains points qui m'apparaissent comme fondamentaux pour chacune d'entre elles.

  Les logiciels de constructions géométriques sont particulièrement adaptés pour aider les élèves à décrire ou construire une figure donnée, utiliser le vocabulaire précis de géométrie, mettre en évidence des propriétés géométriques de façon vivante et concrète, visualiser des ensembles de points, émettre ou vérifier des conjectures.

  Les tableurs permettent de gérer, d'organiser et de structurer des données numériques sous la forme de feuilles de calcul. Ce sont des outils qui donnent la possibilité de proposer aux élèves différentes activités susceptibles de mettre en oeuvre réflexion, découverte et raisonnement, car ils sont alors déchargés des tâches de recopie ou de calculs. Si on modifie un des paramètres du calcul, toute la feuille est recalculée instantanément. Seuls le choix des traitements, l'organisation des calculs ainsi que leur interprétation restent donc à la charge des élèves. De par leur nature, ces outils se destinent presque exclusivement à des domaines numériques tels les statistiques, les études de fonctions, etc.

  Les grapheurs permettent de construire des histogrammes, des diagrammes en barre ou circulaires. Ils sont souvent couplés avec des tableurs (c'est le cas de Works) car leur utilisation est alors plus facile puisqu'il est possible d'utiliser les données numériques traitées par le tableur.

  Les traceurs de courbes permettent de tracer des courbes dont l'équation est donnée. Leur objectif est d'explorer, conjecturer ou vérifier les propriétés de fonctions données. Ils sont donc plutôt désignés pour un usage en Analyse.

  Les logiciels de calcul formel permettent de mener des calculs rapidement et se consacrer aux concepts et aux démarches en jeu. Ils permettent de mener :

  - des calculs exacts sur les nombres entiers, décimaux ou complexes,

  - des calculs sur les polynômes (développements, factorisations),

  - des calculs sur les vecteurs et les matrices.

  Ils permettent également d'opérer formellement sur les fonctions (calculs de limites, dérivation, intégration, résolution d'équations) et de les représenter. En contrepartie, ils nécessitent pour la plupart un apprentissage spécifique (syntaxe des différentes fonctions, configuration du mode de calcul, etc.).
  

  Comme on le voit, il existe une importante variété de produits sur le marché. C'est pourquoi il est impératif d'envisager avec précision le type d'activité que l'on veut réaliser avec l'outil informatique, afin de choisir le logiciel le mieux adapté. Ceci implique une bonne connaissance du panel de types de logiciels existant.

  Une fois le logiciel choisi, il faut alors apprendre son utilisation, ce qui ne s'improvise généralement pas. Plus la phase d'apprentissage du logiciel par l'enseignant est longue, plus elle a des chances de l'être aussi pour les élèves. En effet, ces derniers auront simultanément à faire face aux problèmes d'utilisations et aux contenus mathématiques. Le professeur doit alors envisager d'initier les élèves à ce nouvel outil dans un contexte mathématique qui leur est familier, afin de leur faciliter la tâche pour les premiers contacts.

• 2. quelques pistes :

  En lien avec les activités où j'ai utilisé SAMAO, il aurait été possible d'exploiter un tableur et un grapheur en Statistiques. Ces logiciels m'auraient autorisé des activités où les élèves saisiraient eux-mêmes leurs données afin, par exemple, d'étudier de manière immédiate l'impact des modifications des données dans une série statistique. Par exemple, j'aurais pu ainsi sensibiliser davantage les élèves à différentes propriétés d'indicateurs de position et de dispersion : lorsqu'on ajoute un point à l'ensemble des notes d'une classe, comment évolue la moyenne, l'écart-type, la note médiane, etc. ; de quelle manière cela influe-t-il sur la représentation graphique ? Je n'ai pu réaliser ce type d'activité, car je ne disposais pas du logiciel adéquat sur tous les ordinateurs.

  Il est envisageable de laisser à la disposition des élèves, après une initiation adaptée, un logiciel de calcul formel leur permettant, par exemple, de vérifier leurs calculs, d'utiliser le traceur de courbes intégré pour représenter des courbes, etc. En effet, SAMAO n'autorise pas la saisie d'expressions algébriques quelconques, l'utilisateur ne peut fournir que des transformations d'écritures de celles données par le logiciel lors d'exercices. Il n'est pas possible non plus d'y tracer des courbes représentatives de fonctions. C'est d'ailleurs ce qui m'a conduit à employer un traceur de courbes conjointement au cours sur les fonctions.
  

  En fait, un pôle informatique disponible en permanence pour les élèves (de toutes classes), où seraient regroupés un logiciel du type exerciseur, et un logiciel outil polyvalent, peut apparaître comme une solution cohérente dans une utilisation réfléchie de l'informatique dans l'enseignement. En effet, l'exerciseur permet aux élèves de s'entraîner et de consolider les notions de cours par une distribution d'exercices "à volonté", tandis que le logiciel outil lui permet d'émettre des conjectures, de vérifier ses résultats, et de le libérer de certaines contraintes (calculs longs et fastidieux, schémas et représentations graphiques compliqués, etc.) pour se concentrer sur le raisonnement, l'analyse et l'interprétation. La possibilité de réaliser une auto-évaluation est un moyen supplémentaire donné à l'élève pour vérifier l'état de ses connaissances afin de mieux cibler une éventuelle remédiation.

  Le choix des logiciels doit être judicieux, pour minimiser les temps d'apprentissages de chaque logiciel et ne pas désorienter les élèves quant au choix du logiciel à utiliser pour atteindre leurs objectifs.

  Pour sa part, l'enseignant pourra envisager l'utilisation d'un ou plusieurs imagiciels dans le but d'illustrer son cours, de le rendre plus attractif encore ; la multiplicité des logiciels n'étant pas ici une gêne pour les élèves.

  En tout état de cause, l'emploi de cet outil doit rester sous le contrôle étroit de l'enseignant, de sorte qu'il ne soit pas source de dispersion des efforts de l'élève. Il ne doit pas constituer non plus une source de difficulté supplémentaire.
  

  Une nouvelle utilisation de l'informatique, que je projette d'ici à la fin de l'année, concerne la géométrie dans l'espace. En effet, les capacités de simulation d'objets en trois dimensions par les ordinateurs d'aujourd'hui sont convaincantes de réalisme. Ici, nul doute que les qualités de représentations graphiques offertes par les ordinateurs s'avéreront plus explicites que celles que je pourrais offrir sur un tableau avec de la craie. Les logiciels permettent de représenter toutes sortes de volumes en offrant la possibilité de changer instantanément de point de vue, en les animant par des rotations suivant des axes arbitrairement choisis, en offrant des possibilités de zoom, en masquant les faces cachées ou au contraire en offrant une représentation en fil de fer, etc.
  

Il serait naïf de croire que l'informatique, à elle seule, permet aux élèves de comprendre instantanément les mathématiques. Par contre, il m'apparaît clairement que l'ordinateur peut s'avérer sous certaines conditions, un allié pour le professeur dans son enseignement.

En effet, les activités que j'ai menées pendant l'année à l'aide de l'ordinateur m'ont permis de travailler les mathématiques et de les faire travailler par les élèves sur un nouveau support. Ce dernier favorise le questionnement, la conjecture, en invitant au raisonnement par une approche sollicitant les capacités d'observation, d'interprétation, mais aussi d'imagination.

Une constante majeure qui ressort de l'ensemble de ces expériences concerne l'élève : il est acteur dans la construction de son savoir, et l'ordinateur respecte son rythme d'apprentissage.

Ce type d'activité informatique, que ce soit en petit groupe ou de manière individuelle, associée à des questionnaires, permet de solliciter les élèves sur le plan de la réflexion, de l'expression écrite, de l'expression orale, de la discussion, de l'argumentation, d'un retour en arrière sur ce que l'élève a lui-même fait, mais aussi de développer l'esprit critique par l'objection, la contradiction, la comparaison de méthodes, l'argumentation, l'explication, etc.

Comme les élèves me l'ont fait remarquer au travers des différents questionnaires, le professeur reste l'élément indispensable à un enseignement de qualité. Par sa sensibilité, sa capacité d'adaptation à son auditoire, lui seul est en mesure de prodiguer les explications, les conseil mais aussi les questions formatrices, les plus adaptés à chaque élève. Certes, l'ordinateur peut permettre à l'enseignant de se décharger de certaines tâches (gestion de l'ensemble d'un groupe, représentations graphiques réalistes, etc.), pour lui laisser la possibilité de concentrer son enseignement sur certains objectifs (écoute plus attentive d'un groupe plus restreint, explications individualisées, etc.), mais il n'en reste pas moins que lui seul est apte à organiser un enseignement formateur.

L'ordinateur, employé de manière posée et réfléchie, peut s'avérer un outil efficace pour aider les élèves dans un processus d'apprentissage. Inversement, une utilisation "sauvage" de l'informatique (sans repères, sans fil conducteur, non encadré par un enseignement cohérent) peut, à mon avis, avoir des conséquences désastreuses : une démotivation totale, voire un désintéressement pour la matière enseignée ; car même au travers de telles activités, les élèves ont besoin de se sentir encadrés.

Les élèves ne s'y trompent pas, le contact singulier de la machine ne peut pas remplacer la relation humaine de complicité et de confiance réciproque avec le professeur. Ils sont d'accord pour se servir de l'ordinateur comme un moyen (parmi d'autres) dans leur processus d'apprentissage, mais en aucun cas ils ne voudraient n'avoir à faire qu'à lui.

Pour ma part, il est clair qu'en aucun cas je ne laisserais mes élèves se débattre avec une machine qui leur "déverserait" un savoir, mais par contre j'envisage d'autres exploitations de l'ordinateur pour améliorer le contenu de mon enseignement.

Mon expérience au Lycée Joseph Desfontaines de Melle, m'a conduit à réfléchir sur une utilisation en interdisciplinarité de l'informatique à l'aide du pôle multimédias dont nous disposons au CDI de notre établissement. En effet, de par le jeu des options d'enseignement en classe de Seconde et la politique de l'établissement en matière d'informatique, une grande majorité d'élèves est conduite à utiliser cet outil. On pourrait donc envisager, à mon avis, l'apprentissage de l'utilisation de certains logiciels (tel un tableur-grapheur) dans l'option informatique en classe de seconde. En effet, ce type de logiciel peut trouver son utilisation non seulement en mathématiques, mais aussi en géographie, en sciences physiques, en sciences économiques (c'est d'ailleurs un outil communément utilisé dans les milieux professionnels concernés) ; un logiciel de calcul formel y trouverait même sa place pour une utilisation commune dans toutes les matières scientifiques.

Cela passe bien sûr par une utilisation avec l'ensemble des collègues enseignants. Une réflexion commune de l'équipe pédagogique pourrait alors s'organiser pour prendre en compte les besoins spécifiques de chacun, afin d'organiser un enseignement cohérent utilisant cet outil.

Que l'informatique soit un complément dans l'enseignement des mathématiques ne fait pour moi aucun doute, sous réserve de respecter certaines conditions. Son utilisation est probablement positive dans d'autres disciplines également. Il est clair qu'aujourd'hui le développement extraordinaire de l'informatique dans notre société constitue une révolution technologique et un défi pour notre temps. Il convient donc, en tant qu'enseignant, de prendre en compte ce facteur et de préparer nos élèves à son utilisation rationnelle. D'ailleurs l'institution exprimait encore récemment son désir de s'orienter progressivement vers l'utilisation dans les établissements scolaires de ces nouvelles technologies.

"  La relation Maître-Elève est l'une des plus belles qui soient. Aucun ordinateur ne pourra s'y substituer. Le professeur est le témoin de la meilleure partie de nous-mêmes. Il nous transmet le goût de la connaissance et celui de la critique ".

Palmarini, Le goût des études ou comment l'acquérir. (Ed. Odile Jacob 1993 )

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