ISEM 3 le 13 Novembre 1996

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 4h

Sans document

Avec calculatrice

Exercice 1: Effet photoélectrique sur les métaux (4 points)

On envoie sur une photocathode en potassium:

• une radiation ultraviolette (raie du Hg) =253.7 nm ; on constate alors que l'énergie maximale des photoélectrons éjectés est de 3.14 eV.
• une radiation visible (raie jaune du Na) =589.0 nm ; l'énergie maximale des photoélectrons éjectés est alors de 0.36 eV.

On demande:

1. D'interpréter les observations et d'en déduire une valeur expérimentale de la constante de PLANCK h,
2. De calculer l'énergie d'extraction minimale des électrons du potassium (travail de sortie W_K )
3. De calculer la longueur d'onde maximale des radiations produisant un effet photoélectrique sur le potassium.

Exercice 2: Ondes d'atomes. (5 points)

1. Enoncer les relations de DE BROGLIE (bien définir chaque terme).
2. Quelle est la nature du lien entre une particule matérielle et l'onde qui lui est associée?
3. Quelle est la longueur d'onde d'un photon d'énergie 10 keV, puis d'un électron et d'un neutron ayant acquis une énergie cinétique Ec=10 keV? On précise que, dans ce cas, l'électron et le neutron ne sont pas relativistes.
4. Déterminer la longueur d'onde minimale des rayons X émis par un écran de télévision quand les électrons accélérés dans le tube par une tension de 18000 V sont arrêtés sur l'écran?

On rappelle que la masse de l'électron vaut 9.1x10-31Kg et la masse du neutron
1.7x10^-27 Kg. La vitesse de la lumière dans le vide est c=3x108ms-1. La constante de PLANCK h vaut 6.62x10^-34J.s

Exercice 3: Opérateurs et grandeurs physiques (8 points)

Soit l'espace E des états accessibles par une particule, engendré par la base orthonormée B_E {|1>, |2>, |3>}. Une grandeur physique A est représentée par un opérateur observable et une seconde grandeur physique B par un opérateur observable . Les matrices des différents opérateurs dans la base B_E sont données par:

a, c et étant trois grandeurs physiques réelles.

1. Les opérateurs et sont-ils des observables ?
2. Quelles relations de commutation vérifient les opérateurs ,? Que peut-on en déduire?

1. Quelle propriété possède tout vecteur de la forme où et sont deux nombres complexes quelconques?
2. Trouver une base B'_E de E composée de vecteurs propres communs à et.
3. A l'instant t=0, le système se trouve dans l'état . On effectue alors une mesure de A. Quel résultat obtient-on et quel est l'état du système juste après cette mesure.
   Le système se trouvant dans l'état , on effectue une mesure de B. Préciser les résultats possibles de cette mesure, les probabilités de chacune et l'état du système après la mesure.
   
   Le système se trouvant toujours dans l'état , donner un sens et calculer la valeur moyenne , ainsi que l'écart quadratique moyen .
4. L'Hamiltonien du système étant donné par , l'état du système étant de nouveau à t=0, préciser l'état du système à un instant t ultérieur. Préciser alors les résultats possibles et les probabilités associées d'une mesure de A et de B à l'instant t.

On aura intérêt à décomposer l'état du système sur la base B'_E et rechercher l'équation différentielle vérifiée par chaque coefficient de ce développement.

Exercice 4 : Théorème du viriel (3 points)

Soit un système à une dimension d'Hamiltonien:

où est l'opérateur impulsion et

1. Calculer le commutateur
2. Que vaut la valeur moyenne du commutateur calculée sur un état propre de l'opérateur hermitique  ?
3. En déduire que pour tout état propre de , on a la relation :

où est l'opérateur associé à l'énergie cinétique du système.