ISEM 3 le 13 janvier 1997

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 4h

Sans document

Avec calculatrice

PROBLEME 1: ETUDE D'UN PUITS DE POTENTIEL UNIDIMENSIONNEL

(12 points)

Une particule de masse m est soumise au potentiel (avec ).

où V=0 si x<0 et V=V₀(>0) si x>0. est la "fonction ". On rappelle que cette "fonction" peut être approchée du point de vue physique par la limite lorsque d'une fonction nulle pour tout x, excepté entre et où elle vaut . De façon plus générale, elle n'est définie que par l'intégrale de son produit avec une autre fonction f(x) par la relation:

A. SOLUTIONS POUR E&LT;0

1. Quelle est l'homogénéité de?

1. Ecrire les solutions stationnaires de l'équation de SCHRODINGER, correspondant à une énergie E<0 dans les deux régions x>0 et x<0. On posera:

pour x>0 et pour x<0,

avec K>0 et K'>0.

1. Ecrire les conditions de raccordement pour x=0.

Pour la dérivée, on pensera à intégrer l'équation de SCHR&OUML;DINGER entre -d et +d puis à faire tendre d vers 0. On exprimera la condition en fonction de K et K'.

1. Exprimer K et K' en fonction de V₀ et .

Quelle condition doit satisfaire pour qu'il existe un état lié?

Dans ce cas, quelle est l'énergie E de cet état lié? Ecrire sa fonction d'onde normalisée. On exprimera la constante de normalisation en fonction de K et K'.

1. Calculer, pour cet état lié la valeur moyenne <x>. Quelle est la probabilité qu'une mesure de la position de la particule donne x>0? Interpréter ce résultat. On suggère de donner les résultats en fonction de K et K'.

B. SOLUTIONS POUR E&GT;V₀

1. Ecrire les solutions stationnaires de l'équation de SCHRODINGER, correspondant à une énergie E>V₀ dans les deux régions x>0 et x<0. On posera:

pour x>0 et pour x<0 avec k>0 et k'>0.

1. Ecrire les conditions de raccordement pour x=0 en fonction de k et k'.

1. On considère le cas d'un flux de particules provenant de . En tenir compte dans la solution générale pour isoler le terme correspondant à un flux incident, celui correspondant à un flux réfléchi et celui correspondant à un flux transmis. Exprimer les constantes intervenant dans le flux réfléchi et le flux transmis en fonction de la constante intervenant dans le flux incident.

1. Ces flux sont en fait donnés par la densité de courant de probabilité.

Rappeler la définition du courant de probabilité en mécanique quantique.

Calculer le courant incident Ji, le courant réfléchi Jr et le courant transmis Jt. En déduire le coefficient de transmission et le coefficient de réflexion du système en fonction de E. Donner une relation entre T et R.

On laissera les expressions en fonctions de k et k' en s'efforçant de faire apparaître des termes sans dimension.

C. SOLUTIONS POUR 0&LT;E&LT;V₀

1. Ecrire les solutions stationnaires de l'équation de SCHRODINGER, correspondant à une énergie 0<E<V₀ dans les deux régions x>0 et x<0. On posera:

pour x>0 et pour x<0 avec K>0 et k'>0.

1. Interpréter les différents termes intervenant dans la fonction d'onde et calculer le coefficient de réflexion R.

PROBL&EGRAVE;ME 2: PARTICULE DANS UN POTENTIEL HARMONIQUE (8 points)

On souhaite déterminer les états stationnaires et les niveaux d'énergie d'une particule de masse m soumise à un potentiel harmonique .

A. SOLUTION EXACTE ET APPROCHEE POUR LE NIVEAU FONDAMENTAL

1. Ecrire l'équation de SCHRODINGER vérifiée par les solutions stationnaires (équation 1). Déterminer le paramètre pour que la fonction soit solution du problème. Pour cela, on exprimera dans un premier temps l'énergie totale E, puis on cherchera une condition sur pour que cette énergie ne dépende pas de x. Donner l'énergie E associée à cette solution.

1. Faire le changement de variable dans l'équation 1 ( équation 2) et montrer que, lorsque devient très grand, l'équation 2 se ramène à: .

En déduire que est une solution asymptotique (lorsque ) satisfaisante pour tout solution du problème si on néglige les termes d'ordre inférieur à .

1. On souhaite retrouver une estimation du niveau fondamental en utilisant les inégalités de HEISENBERG. Pour cela, exprimer de façon classique l'énergie totale (potentielle + cinétique) de la particule en fonction de x et p (quantité de mouvement de la particule).

Cette expression peut-elle être nulle en mécanique classique?

Nous admettrons qu'une expression de ce type est encore valable quantiquement, pourvu que l'on remplace x et p par et , respectivement amplitude approximative d'oscillation de la particule autour de sa position d'équilibre x=0, et ordre de grandeur de sa quantité de mouvement, ces deux grandeurs subissant la contrainte des relations d'incertitude de HEISENBERG. En fait, et caractérisent aussi bien dans ce cas précis les largeurs et des spectres de position et de quantité de mouvement.

A l'aide de l'inégalité de HEISENBERG, montrer que l'ordre de grandeur de l'énergie est toujours supérieur à une expression ne dépendant que de ou de . En déduire que est borné inférieurement. Préciser la borne inférieure et la comparer à l'énergie trouvée au 1).

B. SOLUTION APPROCH&EACUTE;E.

L'approximation utilisée consiste à remplacer pour chaque niveau le potentiel harmonique par un puits plat infini - dont on connaît les solutions - astucieusement choisi. Considérons le niveau En (voir schéma) et soit (-Rn,Rn) l'amplitude du mouvement classique de même énergie, définie par En=V(Rn).

On remplace le potentiel harmonique par un puits plat infini:

- de largeur 2Rn,

- de profondeur (au fond du puits) Vn égale à la valeur moyenne du vrai potentiel V(x) sur l'intervalle (-Rn,Rn),

- tel que son nièmeniveau coïncide avec celui du potentiel harmonique:

- , où est l'énergie du nième niveau d'un puits plat infini de largeur a, comptée depuis le fond du puits.

1. Déterminer Vn en prenant la moyenne de V(x) sur l'intervalle (-Rn,Rn).

1. Retrouver rapidement les solutions (énergies et fonctions d'onde d'un puits infiniment profond de largeur 2Rn .

1. En utilisant la valeur de Vn, déterminer la valeur de Rn, puis celle de En.

Comparer cette valeur approchée de En à l'expression exacte.

1. Il serait plus cohérent de calculer la valeur moyenne Vn à partir de la densité de probabilité de présence réelle de la particule dans le puits plat infini, soit:

où est la fonction d'onde du nième état stationnaire du puits plat infini.

Faire ce calcul et montrer qu'il modifie très peu les résultats du 3).