ISEM 3 DUT-BTS (U3) le 13 janvier 1997

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 4h

Sans Document

Avec calculatrice

Problème 1: MAGNETOSTATIQUE (6 points)

1. Un fil rectiligne de longueur infinie, de section circulaire de rayon R, composé d'un métal non magnétique () homogène, est parcouru par un courant uniforme d'intensité I. Calculer le champ d'induction magnétique créé par ce fil rectiligne en un point M situé à une distance r de l'axe du fil, r variant de 0 à l'infini.

1. Un circuit fermé est constitué de deux fils rectilignes parallèles de rayon R, dont les axes sont à une distance "a" l'un de l'autre (avec 2R<a). On suppose que le circuit est fermé à l'infini, et donc que les deux fils sont parcourus par la même intensité I mais en sens contraires (voir schéma). On prendra comme surface du circuit celle limitée par les axes des fils.

A l'aide du résultat de la question 1, préciser le champ d'induction magnétique en tout point de la surface plane située entre les deux conducteurs (0<x<a).

Calculer le coefficient de self-induction L de ce circuit par unité de longueur.

Faire l'application numérique si a=2 cm et la section droite du fil vaut 2.5 mm2.

On rappelle que .

Problème 2: PROPAGATION DANS UN DI&EACUTE;LECTRIQUE (14 points)

L'espace ordinaire est repéré par un trièdre orthonormé direct , et est supposé rempli du côté x0 d'un matériau diélectrique linéaire, homogène et isotrope, de permittivité diélectrique relative et de perméabilité magnétique (celle du vide). On souhaite étudier la propagation des ondes électromagnétiques dans le diélectrique, soit pour x0.

I. PROPAGATION DANS UN DI&EACUTE;LECTRIQUE PARFAIT ( R&EACUTE;EL)

I.1 Ecrire les équations de Maxwell régissant le champ électromagnétique dans le diélectrique, qu'on suppose ne pas contenir de charges libres et dont la conductivité est nulle.

I.2 On étudie la propagation suivant Ox (et dans le sens des x croissants) d'une onde plane électromagnétique monochromatique progressive polarisée rectilignement, de pulsation et de vecteur d'onde .

- Donner la forme générale des champs et en utilisant la représentation complexe habituelle de l'onde plane.

- En déduire des équations vectorielles reliant , et (transformer les opérateurs divergence et rotationnel en produits scalaires et vectoriels) et les principales caractéristiques de l'onde plane.

- En supposant que le champ électrique est polarisé selon Oy, écrire les composantes des champs et dans le diélectrique en appelant E0 et B0 les amplitudes de ces deux champs. Préciser B0 en fonction de E0, k et .

On rappelle que:

I.3 Donner l'équation de dispersion de l'onde et l'expression de k en résultant. Préciser la vitesse de propagation de l'onde dans le diélectrique.

I.4 Donner l'expression de en fonction de , et préciser l'homogénéité de cette grandeur.

II. CAS DU DI&EACUTE;LECTRIQUE IMPARFAIT ( COMPLEXE)

En notation complexe, et pour tenir compte des phénomènes d'absorption de l'onde dans le diélectrique, on considère que la constante diélectrique relative possède une partie réelle et une partie imaginaire : ou encore , avec .

II.1 Montrer qu'alors l'équation de dispersion a pour solution un vecteur d'onde k complexe: k=k'+i k". On précisera, sans les résoudre, les équations reliant k' et k" à et .

II.2 Réécrire, à l'aide de k' et k" l'expression du champ électrique de l'onde plane, en faisant apparaître un terme de propagation et un terme d'absorption (on appellera encore E0 l'amplitude du champ en x=0). Préciser le signe de k", celui de et celui de .

II.3 Donner le vecteur en fonction de E0, k', k" et . En déduire que la grandeur est maintenant une valeur complexe dont on donnera l'expression en fonction de k' et k".

II.4 Exprimer le flux de puissance électromagnétique rayonnée au travers une surface plane S normale à Ox en fonction de x.

Donner la valeur moyenne de ce flux sur une période.

Exprimer la varitation de entre x et x+dx.

Par une simple intégration, en déduire alors la puissance totale perdue par l'onde dans le diélectrique par unité de surface. N'y a-t-il pas un moyen plus direct d'arriver au résultat?

II.5 On rappelle que l'augmentation de densité d'énergie électromagnétique en un point M d'abscisse x où le champ passe de à et le champ de à pendant le temps dt est:

- Exprimer, en notation réelle le champ , puis le champ en fonction de | |, E0 et.

- Calculer alors dw en fonction de dt.

- En intégrant le résultat précédent sur une période, calculer l'énergie w absorbée en M par unité de volume pendant une période. Montrer que cette dernière est proportionnelle à et à l'amplitude au carré du champ électrique en M. Expliquer alors le principe du chauffage par pertes diélectriques (four à micro-ondes).

III. R&EACUTE;FLEXION D'UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE SUR LE DIELECTRIQUE

On considère maintenant une onde électromagnétique plane monochromatique se propageant dans le vide dans le sens des x croissants et qui arrive sous incidence normale à l'interface entre le vide et le diélectrique imparfait décrit au II. L'onde subit une réflexion partielle à la limite entre les deux milieux. On supposera acquise la conservation de la polarisation de l'onde et on adoptera la notation suivante:

Onde incidente	Onde réfléchie	Onde transmise

chacune de ces composantes étant une fonction de x et du temps.

III.1 Donner les relations reliant B_iz à E_iy , B_rz à E_ry , B_tz à E_ty et faisant intervenir l'impédance du vide Z₀ et l'impédance complexe Z_c du diélectrique définie au II.3.

III.2 Ecrire alors les équations reliant les différentes composantes des champs dans le plan x=0.

III.3 Exprimer le coefficient de réflexion en amplitude r en fonction de Z₀ et Z_c ou de et .

III.4 Comme r est complexe, on peut poser , avec r₀ réel, r₀<1 et . Montrer alors que dans le demi-espace vide, le module du champ électrique passe par des maxima et des minima selon les valeurs de x. On précisera la position des ventres et des noeuds de vibration ainsi que le taux d'onde stationnaire (TOS) défini par:

en fonction de r₀, et (longueur d'onde dans le vide).

Remarque: on pourra par exemple mettre le champ total dans le vide sous la forme .