ISEM 3 le 01 avril 1997

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 4h

Sans document

Avec calculatrice

On considère un système hydrogénoïde constitué d'un électron (masse m_e, charge -e, spin 1/2) et d'un muon positif µ⁺ (masse =206.77m_e, charge +e, spin 1/2). On note et leurs vecteurs position respectifs et et leurs opérateurs impulsion associés.

I. Etude du niveau fondamental du muonium

I.1 Ecrire l'Hamiltonien de ce système de deux particules en ne retenant dans l'énergie potentielle que l'interaction coulombienne.

I.2 On pose .

Où se trouve le centre de masse G du système?

Exprimer son rayon vecteur en fonction de et , puis et en fonction de et .

I.3 En utilisant les expressions classiques de la quantité de mouvement, montrer que l'Hamiltonien se met comme la somme de deux Hamiltoniens à variables séparées: l'un () traduisant le mouvement libre du centre de masse G affecté de la masse totale, l'autre () traduisant le mouvement relatif des deux particules, équivalent à celui d'une particule de masse réduite m_R (dont on précisera l'expression) dans un potentiel coulombien V(r).

On posera l'impulsion de la pseudo-particule pour le mouvement relatif.

On ne s'intéressera dans la suite qu'au mouvement relatif.

I.4 Sans détailler la résolution des équations, donner les principales étapes du calcul des solutions de . On appellera l'observable moment angulaire orbital de cette particule (avec , où est le moment cinétique orbital de la particule).

Par analogie avec l'atome d'hydrogène donner les solutions pour le muonium.

Donner la valeur du fondamental et du rayon de la première orbite de Bohr du muonium.

II. Moment cinétique total du muonium

Note: attention, ne représentent pas les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz!

On souhaite calculer le moment cinétique total du muonium. On désigne par l'observable moment cinétique de l'électron et l'observable moment cinétique intrinsèque du muon. On note:

j(j+1) et mj les valeurs propres respectives de et de .

i(i+1) et mi les valeurs propres respectives de et de .

k(k+1) et mk les valeurs propres respectives de et de .

les vecteurs propres communs à pour un couple (i,j) donné.

II.1 Quelle est la valeur du moment cinétique orbital L dans l'état fondamental (1s) du muonium?

En déduire que seul le spin intervient dans le moment cinétique total de l'électron.

On se placera dans cette hypothèse dans toute la suite du problème. En déduire:

- les valeurs possibles de mi , mj et k.

- le nombre de vecteurs de base

II.2 Déterminer les vecteurs propres communs à pour chaque valeur possible de k et mk en fonction des vecteurs .

Rappel: si est un moment angulaire (associé au moment cinétique ), on peut définir deux opérateurs et tels que:

où les sont les vecteurs propres communs à pour les valeurs propres et M respectivement.

III. Couplage hyperfin du muonium.

Les observables moments magnétiques associées à l'électron et au muon sont alors:

et les rapports gyromagnétiques respectifs de l'électron (<0) et du muon (>0). L'énergie d'interaction magnétique entre l'électron et le muon s'écrit alors:

où A est une constante négative. doit être considérée comme une interaction qui s'ajoute à l'Hamiltonien du muonium non perturbé.

III.1 Exprimer en fonction de

Que peut-on dire de la matrice de dans la base des {}?

On posera: .

III.2 En déduire les niveaux d'énergie E(k) du muonium dans son état fondamental (1s) prenant en compte l'effet de (niveaux hyperfins). Préciser la dégénérescence de ces états.

III.3 Donner l'écart en énergie entre deux niveaux hyperfins consécutifs.

En déduire la valeur de E_T, puis celle du rapport gyromagnétique du muon si la transition entre ces deux niveaux est observée par une raie à 4 463.32 MHz.

On donne: = -175.73 GHz/tesla
h = constante de Planck = 6.62x10-34J.s.

A= -140.6x10²⁴ Kg s^-2A^-2

IV. Structure hyperfine et effet Zeeman du muonium.

On soumet en plus ce système à une induction magnétique uniforme suivant laquelle on a choisi l'axe (Oz), avec B>0. L'Hamiltonien d'interaction entre les moments magnétiques et le champ s'écrit:

IV.1 Ecrire la matrice de dans la base dans la base des {} puis dans la dans la base des {}.

On posera: et et on remarquera que comme le moment magnétique de l'électron est supérieur à celui du muon

IV.2 Ecrire alors la matrice de la perturbation totale (ou de l'Hamiltonien total ) dans la base des {}.

IV.3 Que faut-il faire avec cette matrice pour déterminer les énergies mesurables du système complet?

Trouver les énergies E du système perturbé par en fonction de E_T , et .

IV.4 En donner une expression approchée à fort champ lorsque et à bas champ lorsque .

Représenter graphiquement l'évolution de ces états en fonction de B.

V. Méthode de rotation de spin des muons positifs

On revient dans cette question au cas simple du couplage hyperfin sans effet ZEEMAN (B=0)

Une technique récente d'analyse de la structure des matériaux cristallins consiste à former dans le matériau lui-même des atomes de muonium. Ce dernier est en fait instable et se désintègre avec une vie moyenne de =2.2µs. On forme le muonium en ralentissant dans une mince feuille de métal un faisceau de muons µ⁺ préparés dans un état de spin déterminé. Lorsqu'un µ⁺ est suffisamment lent, il peut capturer un électron et former avec celui-ci un muonium excité, qui retombe très vite dans son état fondamental. L'ensemble du processus est très rapide (10^-9 à 10^-10 s) et, fait essentiel, le spin du µ⁺ reste dans le même état qu'au départ. Une fois formé, le muonium, électriquement neutre, peut diffuser hors du métal.

La méthode de rotation de spin est fondée sur les propiétés suivantes:

- on sait former des atomes de muonium dans un état quantique tel que le spin du µ⁺ soit dans un état connu au temps t=0s,

- on sait mesurer l'état du spin des µ⁺ à des instants ultérieurs,

- la rotation du spin permet, sous certaines conditions, de déterminer la structure hyperfine du muonium (constante A).

Le muonium se comporte alors comme une sonde locale permettant d'extraire des informations sur la structure du milieu qui l'entoure.

Les hypothèses de départ sont qu'au temps t=0, le muonium est dans l'état suivant:

- le spin de µ⁺ est dans l'état propre de correspondant à la valeur propre ,

- le spin de l'électron est dans un état quelconque,

- la fonction d'onde spatiale du système est celle du muonium dans son état fondamental.

V.1 Ecrire dans la base des la forme générale d'un état propre de correspondant aux hypothèses de départ ci-dessus en fonction de deux coefficients et . Exprimer ensuite ce même état de départ dans la base des .

V.2 Préciser alors l'état à un instant ultérieur t.

V.3 Montrer que l'opérateur: est un projecteur sur les états propres de correspondant à la valeur propre +.

V.4 Calculer, pour l'état et à l'aide du projecteur ci-dessus, la probabilité p(t) pour que le spin du muon µ⁺ soit encore dans l'état de correspondant à à l'instant t. Que signifie physiquement le fait que p(t) varie dans le temps?

V.5 Noter que cette probabilité s'écrit: p(t)=q.p₊ + (1-q) p_-(t)

où p₊ et p_- sont les probabilités que l'électron soit dans un état propre de avec valeurs propres et respectivement, et où q est une probabilité arbitraire. Pour rendre compte de ce que, dans la réalité, les états de spin des électrons sont distribués "au hasard", on posera que la probabilité observée correspond à q=+1/2. Ecrire, en tenant compte de ceci l'expression complète de .

On rappelle l'expression du laplacien, de et de en coordonnées sphériques:

Table des premières harmoniques sphériques Yl,m:

Table des premières fonctions radiales de l'atome d'hydrogène:

Solutions pour l'atome d'hydrogène: