ISEM 3 DUT-BTS (U3) le 01 avril 1997

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 4h

Sans Document

Avec calculatrice

Problème 1: Accélérateur d'électrons (2.5 points)

En physique des hautes énergies, on a construit des accélérateurs d'électrons d'énergie E de plus 30GeV (1GeV=1x10⁹eV). Comment savoir si ces gens sont fous ou si, comme ils le prétendent, ce faisceau d'électrons permet de sonder la matière à des distances inférieures au Fermi (1x10^-15m), taille approximative des noyaux atomiques?

On rappelle que la relation de dispersion pour des électrons libres relativistes s'écrit:

où c est la vitesse de la lumière dans le vide, m₀ la masse de l'électron et p l'impulsion de l'électron.

Données numériques: m₀=9.1x10^-31Kg, c=3x10⁸m/s,

h=constante de PLANCK=6.62x10^-34J.s

Problème 2: Observables qui commutent. (4.5 points)

1. Qu'appelle-t-on un opérateur observable?

2. On considère un espace hermitique L de dimension 3, muni d'une base B .

On considère deux opérateurs linéaires H et F agissant sur les vecteurs de L, et dont la matrice dans la base B s'écrit:

où est un nombre réel quelconque non nul.

- H et F commutent-ils? Sont-ils hermitiques? Que peut-on en déduire?

- Quelle propriété possède tout vecteur de la forme où et sont deux nombres complexes quelconques?

- Chercher une base de L composée de vecteurs propres communs à H et F.

Problème 3: Particule dans un puits (5 points)

Une particule de masse m se déplaçant dans un puits plat infini unidimensionnel de largeur a (entre x=0 et x=a), se trouve à l'instant t=0 dans l'état représenté par la fonction d'onde:

1. Rappeler les fonctions propres de l'Hamiltonien et les énergies E_n associées.

Développer suivant les fonctions propres .

En déduire la fonction d'onde à l'instant t.

2. Déterminer alors (presque sans calculs!) la constante C de normalisation.

3. Montrer que la densité de probabilité de présence de la particule en un point x du puits est une fonction périodique du temps dont on précisera la période T en fonction de a et m.

4. Calculer à l'instant t la valeur moyenne de l'énergie de la particule.

Expliquer le résultat obtenu.

Problème 4 : Particule soumise à un potentiel carré (8 points)

REMARQUE : La question 6 peut être abordée sans avoir les réponses aux questions 3 à 6.

Une particule de masse m et d'énergie E est soumise à un potentiel V(x) tel que :

1. Ecrire les solutions stationnaires de l'équation de Schrodinger, sans tenir compte des conditions de continuité ou de limite, correspondant à un état lié de la particule.

Indication: on aura avantage à poser et .

2. Montrer qu'il existe deux types de solution.

3. Pour chaque type de solution, tenir compte des conditions aux limites et réécrire les solutions stationnaires de l'équation de Schrodinger.

4. Pour chaque type de solution, en déduire une équation pour les niveaux d'énergie discrets de ce puits de potentiel (On remarquera qu'ils sont donnés en fait par la résolution d'une équation transcendante de l'énergie, mais qu'une méthode graphique très simple permet leur détermination et une discussion immédiate).

Indication: on aura intérêt ici à poser x=ka et y=Ka et à calculer la valeur de x²+y².

On notera qu'il y a alternance du type de solution pour deux niveaux d'énergie consécutifs.

5. Montrer que pour V_o fixé, il existe une valeur pour la largeur du puits telle qu'il ne subsiste plus qu'un seul état lié (exprimer la largeur du puits 2a en fonction de m et V_o).

6. Tracer de manière qualitative la densité de probabilité de présence pour les deux premiers niveaux d'énergie liés.