M3 DUT-BTS (U3) le 20 Octobre 1998

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 2h

Sans Document

Avec Calculatrice

Exercice 1: Analyse Vectorielle. ( 6 points)

On travaillera en coordonnées cylindriques. Un point M de l'espace est repéré par ses coordonnées cylindriques associées au repère local . On définit le champ de vecteurs par et par .

1. Calculer et div_M().

1. Calculer le flux de à travers le cylindre d'axe Oz, de rayon limité par les plans z=z₁ et z=z₂.

1. Calculer la circulation de sur le cercle orienté C (précisez votre choix d'orientation) de centre O et de rayon R situé:

• dans le plan (O,x,y),
• dans le plan (O,y,z)

Exercice 2: Condensateur sphérique ( 10 points)

Un condensateur sphérique est constitué de deux armatures sphériques de rayons R₁ et R₂ portées respectivement aux potentiels V₁ et V₂ (avec V₁>V₂). L'armature intérieure porte une charge +Q et l'armature extérieure une charge -Q. Entre ces armatures, la couronne sphérique de rayon intérieur R₁ et de rayon extérieur R₂ est remplie d'un diélectrique de permittivité diélectrique relative _r:

1. Déterminer les vecteurs excitation électrique et champ électrique en fonction de Q en tout point M repéré par sa distance r=OM au centre O des sphères. En déduire également le potentiel électrostatique V (on exprimera les constantes d'intégration en fonction de V₁ et V₂ dans le potentiel).

Représenter les variations de , et V en fonction de r.

2. En déduire l'expression de la capacité C de ce condensateur.

3. Que vaut le vecteur polarisation macroscopique ?

4. En déduire les densités volumique et surfacique de charges de polarisation et le champ dépolarisant dans le diélectrique.

5. Exprimer l'énergie électrostatique E_P du système en fonction de Q ou V₁-V₂.

Exercice 3: Répartition linéique de charge. ( 4 points)

On considère une répartition linéique de charge répartie uniformément suivant un cercle de centre O et de rayon R. La charge totale portée par la répartition linéique vaut q (q>0).

1. Calculer le potentiel V puis le champ électrique créés en tout point M de l'axe Oz passant par O et orthogonal au plan du cercle.

2. On considère maintenant en plus une charge -q située sur l'axe Oz en M₀ (z=z₀) Donner l'expression du moment dipolaire constitué par cet ensemble de charges (répartition linéique + charge -q en z₀ sur l'axe).

Formulaire d'analyse vectorielle

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques