Cristallographie (» 8 points)

On considère le système bidimensionnel suivant constitué d’atomes A et B :

1. Préciser en fonction de a et représenter les données cristallographiques suivantes permettant de décrire ce cristal :

• Vecteurs de base du réseau direct fournissant une maille élémentaire
• Motif associé
• Surface S de la maille élémentaire
• Le nombre, la nature et la distance des premiers voisins de chaque atome A et de chaque atome B.

3. Dessiner la forme de la première zone de BRILLOUIN.

Modèle d’électrons libres (» 10 points)

On suppose dans cette question que chaque atome A ou B libère en moyenne un électron lors de la constitution du cristal et qu’on peut alors traiter le problème électronique comme celui d'un gaz bidimensionnel d'électrons libres. On désignera par m la masse de l'électron et par n la concentration en électrons libres .

1. Calculer n (en m^-2) pour le cristal précédent si a=3

2. Rappeler les hypothèses du gaz d'électrons libres et calculer les niveaux d'énergie accessibles aux électrons libres dans ce modèle, en utilisant les conditions cycliques de BORN-VON KARMANN et en supposant que les dimensions du cristal sont Lx selon l'axe x et Ly selon l'axe y.

3. Etablir l'expression de la densité d'états n(E) (on choisit de ne pas inclure la dégénérescence de spin dans n(E) et on notera S_C la surface totale du cristal).

4. En déduire en fonction de n la position de l'énergie de FERMI E_F0 au zéro absolu.

5. Déterminer en fonction de n et de la constante de BOLTZMANN k_B la position du niveau de FERMI de ce gaz bidimensionnel d'électrons libres à .

Indication chercher la dérivée de .

Propriété liée à la symétrie de translation (» 2 points)

Si on considère maintenant la symétrie de translation du potentiel cristallin monoélectronique auquel est soumis chaque électron de valence du cristal, quelle propriété remarquable doit vérifier sa fonction d’onde?