ISEM 3 le 11 Mai 1998

INTERROGATION

Durée: 2h

Sans document

Avec calculatrice

Problème 1: Energie cinétique d'un gaz électronique ( 6 points)

Montrer que l'énergie cinétique U₀ d'un gaz tridimensionnel de N_e électrons libres à 0°K est donnée par:

où E_F est le niveau de FERMI du gaz d'électrons libres à 0°K.

Problème 2: Structure électronique ( 9 points)

On considère le cristal suivant, constitué d'atomes A tous identiques:

1. Préciser les données cristallographiques de ce cristal, à savoir:

• le réseau
• le motif
• le réseau réciproque associé
• la 1^ère zone de BRILLOUIN

1. Calculer et représenter la structure de bandes de ce cristal par la méthode CLAO (combinaison linéaire d'orbitales atomiques) dans l'approximation des liaisons fortes limitée aux premiers voisins, en considérant une orbitale "s" par atome A.

1. Discuter le remplissage et la nature du cristal obtenu à 0°K dans l'hypothèse où chaque atome A possède 1 électron sur sa couche de valence. Préciser la position du niveau de FERMI à 0°K.

1. Reprendre le problème en tenant compte de l'interaction avec les seconds voisins.

Problème 3: Niveau de FERMI d'un gaz bidimensionnel d'électrons ( 5 points)

Montrer que le niveau de FERMI d'un gaz bidimensionnel d'électrons libres est donné à par:

où k_B est la constante de BOLTZMANN et n la densité d'électrons.

Indications: on montrera d'abord que la densité d'états d'un gaz d'électrons libres en dimension 2 est indépendante de l'énergie et on cherchera la dérivée de .