ISEM3 le 30 Novembre 1998

DEVOIR SURVEILLE

Durée: 2h

Sans Document

Avec Calculatrice

Exercice 1: Particule dans un puits infini ( 5 points)

On considère un système physique assimilable à une particule de masse m (électron) située dans un puits infini unidimensionnel de largeur a. L'origine des énergies étant prise comme étant la valeur de l'énergie potentielle à l'intérieur du puits (V(x)=0 dans le puits), une mesure de l'énergie effectuée sur un grand nombre de systèmes (N=100) identiques à celui présenté précédemment et tous "préparés" dans le même état a fourni les résultats suivants:

	E1=5 eV	E2=20 eV	E3=45eV
nombre de mesures de E=Ei	25	50	25

1. Pouvez-vous en déduire la largeur du puits?

2. De même, préciser l'expression de , état dépendant du temps des systèmes avant la mesure.

1. Quel sera l'état du système après une mesure ayant fourni E=E₂ comme résultat?

Exercice 2: Résultat de mesures ( 3 points)

Une suite de mesures sur un autre système (supposé unidimensionnel) a fourni comme valeurs possibles de E les résultats suivants (par rapport à une origine des énergies définie arbitrairement):

E=1eV, E=1.05eV, E=1.10eV, E=1.15eV, E=1.20 eV

Que pouvez-vous dire de ce système? Quelle grandeur physique peut le caractériser?

Exercice 3: Effet tunnel ( 5 points)

En toute première approximation, les électrons "libres" des métaux peuvent être considérés comme des particules (libres) placées dans un potentiel (énergie potentielle) uniforme et égal à -V₀ à l'intérieur du morceau de métal et nul à l'extérieur. Considérons le modèle à une dimension suivant:

Considérons les électrons d'énergie E>0. Si E<<V₀, une partie non négligeable des électrons ne sort pas du métal, parce qu'ils sont "réfléchis" par la surface. Calculer cette proportion R (coefficient de réflexion).

Faire l'application numérique pour V₀=10eV et E=0.1eV.

Exercice 4: Potentiel central et mouvement libre. ( 7 points )

On considère une particule de masse m se déplaçant dans le champ de force dérivant d'un potentiel central V(r), où r repère la distance à un point O. On appellera le moment cinétique orbital de cette particule. On rappelle que , où est le moment angulaire orbital de la particule (sans dimension).

1. Rappeler, en justifiant vos propos, comment s'écrivent les solutions de la fonction d'onde de cette particule, en séparant les variables sphériques r, et . Introduire en particulier l'équation angulaire et préciser, sans les redémontrer, les solutions de cette équation (valeurs propres, dégénérescence).

2. Exprimer l'équation vérifiée par la partie radiale R(r) de la fonction d'onde en fonction des valeurs propres de ².

3. Nous allons résoudre cette équation dans le cas trivial où V(r)=0, ce qui constitue un cas limite du champ de force central, et pour la plus petite valeur propre possible de ². Nous obtiendrons des solutions pour le mouvement libre possédant la symétrie sphérique.

L'énergie sera-t-elle quantifiée? Quelle sera son signe?

On pose , et (r) = r.R(r). Que vaut (0)?

Donner et résoudre l'équation différentielle vérifiée par (r).

En déduire les solutions pour R(r) en fonction de k, puis celles de .

Liste de valeurs numériques utiles:

Constante de Planck réduite: = 1.054x10^-34 J.s

Masse de l'électron: m= 9.1x10^-31 Kg

Electron-Volt: 1 eV = 1.6x10^-19 J

On rappelle l'expression du laplacien et de en coordonnées sphériques: