Exercice 1: Cristallographie (» 6 points)

Un système hexagonal centré bidimensionnel peut être décrit par les vecteurs de base suivants:

3. Dessiner la forme de la première zone de Brillouin.

Exercice 2: Modèle de Sommerfeld: caractéristique d'un métal au zéro absolu (» 14 points)

L'argent est un métal monovalent: en moyenne, chaque atome "libère" un électron lors de la constitution du cristal et on peut traiter le problème électronique comme celui d'un gaz d'électrons libres. On désignera par m₀ la masse de l'électron et par n la concentration en électrons libres .

1. Sachant que l'argent a pour masse atomique A=107.88x10^-3Kg (masse d'une mole d'atomes d'Ag) et pour masse volumique =10.5x10³ Kg/m³, calculer n.

2. Rappeler les hypothèses du gaz d'électrons libres et les niveaux d'énergie accessibles aux électrons libres dans ce modèle, en précisant bien les conditions aux limites que vous utilisez.

3. Etablir l'expression de la densité d'états n(E).

4. En déduire les valeurs de l'énergie cinétique de FERMI E_F0 au zéro absolu (en eV) et de la vitesse v_F0 des électrons d'énergie cinétique E_F0 en fonction de n. Que représente v_F0 pour des électrons libres?

5. Etablir l'expression de la vitesse moyenne <v> des électrons libres au zéro absolu en fonction de la seule grandeur v_F0. Donner sa valeur numérique.

6. Déterminer le nombre n₁ d'électrons libres par unité de volume dont les énergies cinétiques sont comprises entre et avec . Exprimer n₁ en fonction de n, et E_F0. Evaluer le pourcentage d'électrons libres correspondant à l'intervalle =0.1eV.

Liste de valeurs numériques utiles:

Constante de Planck réduite: = 1.054x10^-34 J.s

Masse de l'électron: m₀= 9.1x10^-31 Kg

Electron-Volt: 1 eV = 1.6x10^-19 J

Nombre d'Avogadro: À =6.022x10²³ mol^-1