ISEM 3 le 17 juin 1997 ISEM 3 le 17 juin 1999

EXAMEN

Durée: 4h

Sans document

Avec calculatrice PHYSIQUE DES SOLIDES
 

Rédiger les différents exercices sur copies séparées
 
  Exercice 1: Courants dans la base d'un transistor (4 points)

On supposera que les expressions des courants établies en cours dans le cas de concentrations à l'équilibre restent valables dans le cas de concentrations de porteurs hors-équilibre.

Dans certaines conditions (polarisation directe), la base d'un transistor bipolaire NPN peut être schématisée comme un élément semi-conducteur dopé de type p (Silicium, dopage en accepteurs NA=1015cm-3) de largeur W=0.5µm entre l'émetteur et le collecteur, dans lequel les densités de trous libres p(x) et d'électrons libres n(x) sont données par n(x)=n0+d(x) et p(x)=p0+d(x) (n0 et p0 sont les concentrations à l'équilibre en l'absence de polarisation), d(x) étant représenté ci-dessous (variation linéaire entre d(0)= et d(W)=0):

 

 
 

1. Calculer n0 et p0 à 300°K.

2. Calculer la valeur des densités de courant de diffusion d'électrons et de trous dans la base pour D=1013cm-3.

3. Calculer la valeur du champ électrique qu'il faudrait maintenir entre 0 et W pour avoir un courant de conduction de trous de même amplitude que celui de diffusion.

 A T=300°K dans le silicium: la concentration intrinsèque ni vaut 1.45x1010cm-3, la mobilité des électrons vaut 1500 cm2/Vs et la mobilité des trous vaut 450 cm2/Vs Exercice 2: Structure de bandes d'un solide unidimensionnel (» 7 points) On considère le solide unidimensionnel suivant, de longueur L (N=nombre de mailles), composé d'atomes A et d'atomes B.
 
 

avec évidemment b+c=a=0.3nm et c>b. Pour étudier la structure de bandes de ce solide dans l'approximation des liaisons fortes, on considérera une orbitale de type "s" sur chaque atome A () et une orbitale de type "s" sur chaque atome B () et on notera:

 

1. Préciser les données cristallographiques de ce solide (maille élémentaire, motif primitif, réseau et réseau réciproque, zone de Brillouin)

2. En ne retenant que les interactions entre premiers voisins, préciser les niveaux d'énergie accessibles aux électrons. A quoi est alors équivalent ce système? Préciser en fonction du niveau de FERMI EF et de a les concentrations d'électrons (ou de trous si cette notion vous semble pertinente) sur les différents niveaux. En déduire la position du niveau de FERMI.

3. En retenant maintenant les interactions entre premiers et seconds voisins (on se placera dans ce cas dans la suite de l'exercice), déterminer et représenter la structure de bandes (relations de dispersion E() ) de ce solide. Quelle est sa nature à 0°K?

4. Remplacer la structure de bandes réelles par une approximation en masse effective là où ceci vous semble pertinent. Préciser l'expression et la valeur des masses effectives obtenues.

 

 Exercice 3: Semi-conducteurs dégénérés et non-dégénérés (» 9 points)

On considère un semi-conducteur de type n dans lequel les atomes d'impuretés de type donneurs ont une énergie d'ionisation .

 

1. Préciser en fonction du niveau de FERMI EF la concentration nD en électrons qui occupent à la température T les niveaux donneurs des impuretés non ionisées. En déduire la concentration n des électrons qui, issus des impuretés ionisées, peuplent la bande de conduction (ou encore la concentration ND+ en sites donneurs ionisés).

 

2. Rappeler l'expression de la densité d'états n(E) (sans tenir compte de la dégénérescence de spin) d'un gaz d'électrons libres tridimensionnel enfermé dans un volume V.

 

3. Etablir sous forme intégrale l'expression générale de la densité n des électrons dans la bande de conduction supposée semi-infinie (en fonction de EF, EC: minimum de la bande de conduction et mn*: masse effective des électrons dans cette bande).

 L'expression ainsi établie est indépendante de la nature du semi-conducteur (dopé ou non) mais le résultat de l'intégration est fonction de la position du niveau de FERMI et on envisagera donc par la suite les deux cas suivants:

i) le niveau de FERMI est dans la bande interdite et la fonction de distribution de FERMI s'identifie sensiblement à la fonction de BOLTZMANN:

si : le semi-conducteur est non-dégénéré

ii) le niveau de FERMI est situé à une énergie supérieure à 5kBT au dessus du bas de la bande de conduction (EC) et l'intégrale de FERMI donne:

si : le semi-conducteur est dégénéré

 

4. a) Montrer que dans le cas d'un semi-conducteur non-dégénéré, la densité des électrons de conduction peut se mettre sous la forme:

Expliciter NC.

b) En négligeant les électrons provenant du processus intrinsèque, et en égalant cette dernière expression avec celle issue du 1., déterminer l'expression de EF dans l'hypothèse où  (basse température).

Indication: on cherchera l'équation du second degré vérifiée par , on la résoudra et on simplifiera la solution en négligeant tous les termes petits devant  c) Montrer que EF passe par un maximum pour une température TMAX telle que . Préciser TMAX et la position correspondante EFMAX du niveau de FERMI EF.

d) En déduire la concentration limite NDlim pour laquelle, EFMAX se confondant avec le bas de la bande de conduction, le semi-conducteur devient partiellement dégénéré. Evaluer numériquement NDlim pour le Silicium avec  et .

e) Comparer à la concentration limite NDlim2 pour laquelle les orbites de Bohr des niveaux donneurs hydrogénoïdes se recouvrent.

Indication: le rayon de la première orbite de Bohr de l'atome d'hygrogène vaut: . 5. a) Donner en fonction de EC et de EF la densité d'électrons de conduction d'un semi-conducteur complètement dégénéré (hypothèse ii).

b) Quelle équation doit alors vérifier le niveau de FERMI EF? Evaluer numériquement, dans Si, la concentration d'impuretés ND qui, à la température ambiante (T=300°K), place l'énergie de FERMI à 5kBT au-dessus du bas de la bande de conduction. Remarque.

 

Données numériques:

 e=1.6x10-19C, =1.055x10-34J.s, m0=masse de l'électron= 9.1x10-31Kg, kB=1.38x10-23J/K (constante de BOLTZMANN), constante diélectrique du Silicium .