ISEM 3,                                                                                                                                         le 17 juin 1997

EXAMEN

Durée: 4h

Sans document

Avec calculatrice

I. Questions (10 points)

1. Calculer la longueur d'onde associée à un atome d'Hélium "froid", dont l'énergie cinétique vaut 11 meV (pas d'effet relativiste ici).

Données: h = constante de Planck = 6.62x10-34J.s, masse de l'Hélium = 6.65x10^-27Kg

2. Quelles sont les valeurs mesurables de l'énergie d'une particule de masse m située dans un puits infini de potentiel unidimensionnel entre x=0 et x=a?

3. Quelles sont les valeurs mesurables de la composante suivant une direction quelconque du spin total d'un système physique composé de deux particules de spin respectif 1/2 et 1?

4. On plonge deux particules identiques de spin 1/2 et supposées sans interaction l'une avec l'autre, dans le puits infini du 2/. En tenant compte du spin, préciser l'état fondamental de ce système de deux particules identiques.

5. Calculer la correction à apporter au 1^er ordre en perturbations au niveau fondamental du puits infini du 2/ si une force constante F est appliquée en plus à la particule.

6. Une particule de masse m est assujettie à se déplacer dans le plan Oxy et est soumise dans ce plan à l'action de deux forces f_x = -k.x suivant Ox et f_y = -k.y suivant Oy. Donner les énergies des états stationnaires accessibles à cette particule et la forme générale de la fonction d'onde associée au fondamental (on ne demande pas de calculer l'expression exacte de !).

7. Retrouver par un calcul de type variationnel l'énergie et la fonction d'onde du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène (choisir une fonction d'essai qui corresponde à votre intuition physique!). On rappelle que si f est une fonction à symétrie sphérique, son laplacien est de la forme:

8. La mesure de l'énergie d'un système, effectuée sur un grand nombre (N) de systèmes préparés de façon identique (N=100), a fourni les résultats suivants:

En déduire l'état quantique de ce système à un instant t quelconque avant la mesure de l'énergie. Que devient cet état après la mesure de l'énergie?

9. A l'aide du calcul du 7/, calculer la valeur moyenne de la distance r entre l'électron et le proton dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène et comparer à la valeur la plus probable de r.

Exercice 1: Molécule carrée ( 5 points)

On souhaite étudier la structure électronique d'une molécule hypothétique carrée composée d'atomes identiques A par la méthode des combinaisons linéaires d'orbitales atomiques (CLOA). Pour faire le calcul, on prendra comme base de fonctions une fonction s par atome A (_i pour i=1..4))

1. Ecrire la fonction d'onde d'essai utilisée pour résoudre l'équation monoélectronique.

2. Trouver par un critère variationnel le système linéaire d'équations vérifié par les coefficients introduits au 1), dans l'approximation des liaisons fortes et en se limitant aux interactions entre voisins immédiats. On écrira ce système en fonction des deux éléments de matrice suivants:

3. Calculer les niveaux d'énergie de cette molécule ainsi que les fonctions d'onde associées. Discuter la nature des états obtenus et leur remplissage dans le cas où chaque atome A apporte un électron.

Exercice 2: Etude d'un modèle simple de collision entre deux spins 1/2 ( 5 points)

Considérons deux particules de spin 1/2, dont nous traiterons classiquement les degrés de liberté externes et quantiquement les degrés de liberté de spin. Nous supposerons que leurs trajectoires sont rectilignes et que l'interaction entre les deux spins et est de la forme , la constante de couplage a(r) étant une fonction rapidement décroissante de la distance r qui sépare les deux particules. On notera:

• le moment cinétique total des deux particules,

• m1 les valeurs propres , m2 les valeurs propres de ,
• s(s+1) et m les valeurs propres respectives de et de .

• les vecteurs propres communs à ,

(on utilisera la notation pour les kets .

Figure 1: Collision entre deux particules (1) et (2) de spin 1/2 dont les variables orbitales peuvent être traitées classiquement; l'état de spin de chaque particule est schématisé par une flèche double.

Comme r varie au cours du temps, il en est de même de a(r). L'allure des variations de a avec t est représentée sur la figure 2; le maximum correspond à l'instant où la distance entre les deux particules est minimale. Pour simplifier les raisonnements, nous remplacerons la courbe de la figure 2 par celle de la figure 3.

Comme seul l'état de spin intervient au niveau quantique, on ne conservera dans l'hamiltonien que les opérateurs agissant sur les variables de spin (en l'occurence ) et on ne précisera que l'état de spin . La collision peut alors être décrite comme suit:

t<0 :

0<t<T :

T<t :

Le problème que nous nous posons est le suivant: si avant la collision, c'est à dire à t=-, l'état de spin du système des deux particules est , quel est l'état du système après la collision?

1. Comme pour t<0, que peut-on en déduire pour l'état du système?

Préciser alors

2. Il sera intéressant pour 0<t<T de travailler dans la base des vecteurs propres communs à . Pourquoi? Déterminer les vecteurs .

3. Préciser dans la base des puis l'état dépendant du temps du système pour 0<t<T.

Repasser enfin dans la base des (introduire la pulsation ).

²

4. Que vaut alors pout t>T?

5. Que se passe-t-il si et si avec k entier positif?

Interpréter physiquement.

Dans tous les autres cas, on dit que l'interaction entre les deux spins a introduit entre eux des corrélations. Pour le comprendre, supposons qu'à un instant t₀>T, un observateur 1 mesure S_1Z et trouve comme résultat .

Quelle était la probabilité de trouver ce résultat?

Préciser alors l'état du système juste après cette mesure .

Si un second observateur 2 mesure S_2Z pour t₁>t₀, que donnera cette mesure?

Qu'en serait-il si le premier observateur avait mesuré ?

Ainsi le résultat obtenu par l'observateur 2 est influencé de façon essentielle par le résultat obtenu par l'observateur 1, même si au moment de ces deux mesures les particules sont extrêmement éloignées l'une de l'autre et n'interagissent plus. Ce résultat apparemment paradoxal (dit "paradoxe EPR" ou de EINSTEIN, PODOLSKY et ROSEN) reflète l'existence d'une forte corrélation entre les deux spins qui est apparue par suite de leur interaction au cours de la collision.

Rappel: si est un moment angulaire (associé au moment cinétique ), on peut définir deux opérateurs et tels que:

où les sont les vecteurs propres communs à pour les valeurs propres et M respectivement.