ISEM 3 le 18 Juin 1998

Examen
Durée: 4h
Sans document
Avec calculatrice

Problème 1. ETUDE D'UN SOLIDE UNIDIMENSIONNEL

On désire étudier les propriétés d'un solide unidimensionnel consistant en une chaîne linéaire distordue de longueur L dans la direction Ox représentée ci-dessous et composée d'atomes A de nature identique que l'on supposera posséder 1 électron sur leur couche de valence (externe). Dans l'état atomique fondamental, cet électron se trouve dans un état "s" possédant la symétrie sphérique et noté pour l'atome i.

Préciser les données cristallographiques de ce cristal, à savoir:

• le réseau
• le motif
• le réseau réciproque associé
• la 1^ère zone de BRILLOUIN

1. Calculer et représenter la structure de bandes de ce cristal par la méthode CLAO (combinaison linéaire d'orbitales atomiques) dans l'approximation des liaisons fortes, en considérant une orbitale "s" par atome A. On tiendra compte dans ce calcul de l'interaction entre orbitales portées par des atomes A voisins de b (notée ) et de l'interaction entre orbitales portées par des atomes A voisins de c (notée ). On notera par ailleurs E_A l'énergie d'une orbitale "s" dans le cristal.
2. Discuter le remplissage et la nature du cristal obtenu à 0°K. Préciser la position du niveau de FERMI à 0°K.

on prendra , , , a=5, b=2.3, c=2.7.

1. Déterminer l'expression de la masse effective mc* des électrons au minimum Ec de la bande de conduction et la masse effective mv* des trous au maximum Ev de la bande de valence en précisant ce que signifie cette notion.
2. Montrer que, en utilisant l'approximation de la masse effective, on obtient des expressions approchées (à préciser) de la densité d'états n_BC(E) en bas de la bande de conduction et de la densité d'états n_BV(E) dans le haut de la bande de valence similaires à celle obtenue dans le cas d'un gaz d'électrons libres à une dimension.
3. En utilisant les expressions approchées précédentes, montrer qu'on peut exprimer la concentration n d'électrons dans la bande de conduction et la concentration p de trous dans la bande de valence à l'équilibre thermodynamique à la température T sous la forme:

où EF est le niveau de FERMI et kb la constante de BOLTZMANN. Préciser les expressions de Nc et Nv , puis l'expression de n et p en fonction de Nc, Nv, et E_G =Ec-Ev.

1. Application Numérique: Calculer n et p à 300°K.

Données: m0=9.1x10-31Kg, masse de l'électron dans de vide.

=1.054x10-34J.s

k_b=1.38x10^-23J/K

On rappelle que et que

1. En utilisant un modèle semi-classique pour décrire les électrons, préciser l'expression de la vitesse v_x des électrons en fonction du vecteur d'onde k_x, puis en fonction de E-E_c en utilisant l'approximation de la masse effective pour la relation de dispersion en bas de bande de conduction.

A l'aide de l'expression de la densité d'états dans l'approximation de la masse effective, en déduire une expression de la vitesse thermique moyenne <v_th>_n des électrons selon l'axe x dans la bande de conduction.

Faire de même pour les trous de la bande de valence.

1. On considère désormais un matériau constitué de rangées identiques parallèles à l'axe Ox, indépendantes et analogues à celles étudiées jusqu'ici. Dans le plan yOz perpendiculaire à la direction Ox, la trace de ces rangées (leur intersection avec le plan yOz) forme un réseau carré de côté "d".

Calculer en fonction de n et p les densités volumiques n_V et p_V d'électrons et de trous libres dans ce matériau. Faire l'application numérique pour d=5.

Donner (sans démonstration) l'expression de la conductivité due aux électrons suivant l'axe Ox et de la conductivité due aux trous suivant l'axe Ox faisant intervenir la masse effective et une valeur moyenne <>_n ou <>_p du temps de relaxation sur la bande concernée.

Quel est le lien entre <> et le libre parcours moyen selon Ox?

Si le libre parcours moyen pour les électrons et pour les trous suivant Ox est donné par , calculer la conductivité totale du matériau suivant Ox.

Rappel: Valeur moyenne sur la bande B d'une grandeur h(E):

où n(E) est la densité d'états (sans tenir compte du spin) et f(E) la probabilité d'occupation.

Problème 2. DOPAGE ET ORBITES D'IMPURETES DANS UN III-V

Les caractéristiques électriques de l'arséniure de gallium (GaAs) sont les suivantes: E_G=1.43eV (bande interdite), (constante diélectrique), masse effective de l'électron .

1. Calculer à l'aide du modèle hydrogénoïde pour les niveaux donneurs:

• l'énergie d'ionisation E_I des donneurs
• le rayon de l'orbite de Bohr de l'état fondamental

2. Quelle est la conséquence d'un écart à la stoechiométrie du composé pur en terme de dopage du matériau:

• dans le cas d'un excédent du corps de la colonne III (Ga) ?
• dans le cas d'un excédent du corps de la colonne V (As) ?

3. A partir de quelle concentration limite de donneurs y aura-t-il dégénérescence du semi-conducteur (transition métal-isolant et apparition d'une "bande d'impuretés")?

Sachant que le côté de la maille cubique vaut a=5.65(lattice constant) pour le GaAs, et que ce dernier cristallise dans un système Zinc-Blende, calculer le nombre d'atomes par unité de volume dans le GaAs pur et stoechiométrique.

Calculer alors à partir de quel écart relatif de concentration de gallium vis à vis de l'arsenic il y a apparition de ces bandes d'impuretés (écart à la stoechiométrie).

Rappel: résultats pour l'atome d'hydrogène

niveaux d'énergie: , où n est un entier >0

rayon de la première orbite de Bohr: