ISEM 3 DUT-BTS (U3) le 17 juin 1997

EXAMEN

Durée: 4h

Sans document

Avec calculatrice

I. Questions (10 points)

1. Calculer la longueur d'onde associée à un atome d'Hélium "froid", dont l'énergie cinétique vaut 11 meV (pas d'effet relativiste ici).

Données: h = constante de Planck = 6.62x10-34J.s, masse de l'Hélium = 6.65x10^-27Kg

1. Quelles sont les valeurs mesurables de l'énergie d'une particule de masse m située dans un puits infini de potentiel unidimensionnel entre x=0 et x=a?

3. Quelles sont les valeurs mesurables de la composante suivant une direction quelconque du moment cinétique intrinsèque d'une particule de spin 1?

4. On plonge deux particules identiques de spin 1/2 et supposées sans interaction l'une avec l'autre, dans le puits infini du 2/. En tenant compte du spin, préciser l'état fondamental de ce système de deux particules identiques.

5. Calculer la correction à apporter au 1^er ordre en perturbations au niveau fondamental du puits infini du 2/ si une force constante F est appliquée en plus à la particule.

6. Une particule de masse m est assujettie à se déplacer dans le plan Oxy et est soumise dans ce plan à l'action de deux forces f_x = -k.x suivant Ox et f_y = -k.y suivant Oy. Donner les énergies des états stationnaires accessibles à cette particule et la forme générale de la fonction d'onde associée au fondamental (on ne demande pas de calculer l'expression exacte de !).

1. Retrouver par un calcul de type variationnel l'énergie et la fonction d'onde du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène (choisir une fonction d'essai qui corresponde à votre intuition physique!). On rappelle que si f est une fonction à symétrie sphérique, son laplacien est de la forme:

8. La mesure de l'énergie d'un système, effectuée sur un grand nombre (N) de systèmes préparés de façon identique (N=100), a fourni les résultats suivants:

Energie mesurée	E1	E2	E3
Nombre d'évènements	33	34	33

En déduire l'état quantique de ce système à un instant t quelconque avant la mesure de l'énergie. Que devient cet état après la mesure de l'énergie?

9. A l'aide du calcul du 7/, calculer la valeur moyenne de la distance r entre l'électron et le proton dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène et comparer à la valeur la plus probable de r.

Exercice 1: Méthodes d'approximation sur un système à deux niveaux. (5 points)

On considère un système à deux états. Dans une base l'Hamiltonien du système s'écrit:

1. Résolution exacte

Trouver les énergies propres du système.

2. Méthode des variations

On prend comme fonction d'essai , où est un paramètre.

Exprimer l'énergie E du système dans l'état en fonction de , puis déterminer l'expression de qui minimise cette énergie (ne pas chercher à réintroduire cette expression dans celle de l'énergie).

Application Numérique: On prend E1=0, E2=1 eV, =0.1 eV.

Donner la valeur approchée du fondamental.

3. Méthode des perturbations

On considère un Hamiltonien non perturbé et une perturbation .

Trouver les corrections en énergie au 1er et au 2ème ordre apportées aux niveaux E1 et E2 par la perturbation . Que peut-on en dire par rapport à la solution exacte?

Faire l'application numérique avec les valeurs du 2) et comparer pour le fondamental au résultat obtenu par la méthode des variations.

Donner une condition pour que la méthode des perturbations soit valable.

Est-ce le cas ici?

Exercice 2: Interactions magnétiques de l'atome d'hydrogène (5 points)

On considère un atome d'hydrogène dans les états 2p (on ne tiendra pas compte du spin de l'électron). On construit la base propre commune à , , où est le moment cinétique orbital, et l'hamiltonien non perturbé de l'atome d'hydrogène.

1. Donner les valeurs des nombres quantiques n, et m pour ces états.

1. On note les états de base correspondant à m et E_2p la valeur propre associée de . On plonge l'atome d'Hydrogène dans un champ magnétique extérieur (valable jusqu'à la fin de l'exercice) parallèle à Oz et on suppose que l'énergie d'interaction est:

Déterminer le nouvel Hamiltonien et calculer les niveaux d'énergie du système (on posera , constante physique >0).

3. On considère l'état . Calculer la valeur moyenne de l'énergie et son incertitude dans l'état .

4. En supposant qu'à l'instant t=0, le système est dans l'état , calculer l'état du système à l'instant t, soit . Montrer que la valeur moyenne de dans cet état ne dépend pas du temps et donner sa valeur.